Thema: Stammfunktionen von sin und cos
Lösung
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
f(x) = \(\sin x – 9\)
Bestimme eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\).
Vorgehensweise (Schritt für Schritt)
1) Lineare Zerlegung nutzen
Da die Ableitung (und damit auch das Integrieren) linear ist, darfst du die Funktion in zwei Teile zerlegen:
\[
\int (\sin x – 9)\,dx = \int \sin x\,dx – \int 9\,dx.
\]
2) Stammfunktion von \(\sin x\)
Merksatz:
\[
\frac{d}{dx}(-\cos x) = \sin x.
\]
Deshalb gilt als Stammfunktion:
\[
\int \sin x\,dx = -\cos x.
\]
3) Stammfunktion der Konstanten \(-9\)
Für Konstanten gilt allgemein:
\[
\int a\,dx = a x.
\]
Also:
\[
\int (-9)\,dx = -9x.
\]
4) Zusammensetzen und Integrationskonstante hinzufügen
Jetzt setzt du beide Teile wieder zusammen und ergänzt die Integrationskonstante \(C\):
\[
F(x) = -\cos x – 9x + C.
\]
Kontroll-Tipp (ohne Endergebnis zu „verraten“)
Leite deine gefundene Funktion \(F(x)\) ab:
- Die Ableitung von \(-\cos x\) ist \(\sin x\).
- Die Ableitung von \(-9x\) ist \(-9\).
- Die Ableitung von \(C\) ist \(0\).
Wenn du danach wieder genau \(\sin x – 9\) erhältst, ist deine Stammfunktion korrekt.
Merktipp
Für trigonometrische Grundfunktionen hilft es, sich diese beiden Paare einzuprägen:
- \(\int \sin x\,dx = -\cos x + C\)
- \(\int \cos x\,dx = \sin x + C\)