Leonie

$$ \text{Kreuzen Sie an, wie viele Kilogramm }4800\,\text{Gramm sind.} $$

Aufgabe: Einheiten umrechnen (g → kg) Lösung Gesucht ist, wie viele Kilogramm 4800 Gramm sind. Schritt 1: Zusammenhang zwischen Gramm und Kilogramm Merksatz: 1000 g = 1 kg. Schritt 2: Von Gramm zu Kilogramm umrechnen Um von Gramm in Kilogramm umzurechnen, teilt man durch 1000: 4800 g ÷ 1000 Schritt 3: Division ohne Taschenrechner (Komma verschieben) Durch 1000 teilen

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$$ \text{Zeichne den Graphen in das Koordinatensystem: } y = \tfrac{1}{2}|x-2| + 1 $$

Aufgabe: Betragsfunktion aus dem Koordinatensystem Lösung Gegeben ist die Funktion \( y=\tfrac12|x-2|+1 \). Du sollst ihren Graphen ins Koordinatensystem einzeichnen. 1) Grundidee: Betragsfunktion erkennen Eine Funktion der Form \( y=a|x-h|+k \) ist ein V-förmiger Graph. \(h\) verschiebt den Graphen nach rechts/links, \(k\) verschiebt nach oben/unten, \(a\) macht das „V“ steiler oder flacher (und bei negativem

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$$ f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x} $$

Theme: Stammfunktionen einfacher Funktionen Lösung Gegeben: f(x)=\(\frac{1}{2}\sqrt{x}\) Ziel: Eine Stammfunktion F(x) finden, sodass F'(x)=f(x). Schritt 1: Funktion in Potenzschreibweise umformen Wurzelfunktionen lassen sich als Potenzen schreiben: \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Damit wird \(f(x)=\frac{1}{2}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}}\). Schritt 2: Potenzregel für Stammfunktionen anwenden Merke (Potenzregel): Für \(x^n\) (mit \(n\neq -1\)) gilt als Stammfunktion: \(x^n \;\rightarrow\; \frac{x^{n+1}}{n+1}\) Der Faktor

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Anzahl | Länge(km) 8 | 72 6 | x

Indirekt proportionale Zuordnungen Lösung Gegeben ist eine Tabelle: Anzahl Länge (km) 8 72 6 x 1) Was bedeutet „indirekt proportional“? Bei einer indirekt proportionalen (auch: umgekehrt proportionalen) Zuordnung gilt: Wenn die eine Größe kleiner wird, wird die andere größer – und umgekehrt. Mathematisch heißt das: Anzahl · Länge = konstant 2) Konstante mit dem bekannten

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Anzahl | Länge(km) 4 | 49 7 | x

Indirekt proportionale Zuordnungen Lösung Gegeben ist die Tabelle: Anzahl Länge (km) 4 49 7 x 1) Was bedeutet „indirekt proportional“? Bei einer indirekt proportionalen Zuordnung gilt: Wenn die eine Größe größer wird, wird die andere kleiner – und zwar so, dass das Produkt aus beiden Größen konstant bleibt. Also gilt hier: Anzahl · Länge =

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Geschwindigkeit(km/h)| Zeit(h) 90 | 6 120 | x

Indirekt proportionale Zuordnungen: Geschwindigkeit und Zeit Lösung Gegeben ist eine Tabelle: Geschwindigkeit (km/h) Zeit (h) 90 6 120 x Hier geht es um eine indirekt proportionale Zuordnung: Wenn die Geschwindigkeit größer wird, wird die benötigte Zeit kleiner (bei gleicher Strecke). Schritt 1: Grundidee der indirekten Proportionalität Bei gleicher Strecke gilt: Geschwindigkeit · Zeit = konstant

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$$ f(x) = \sqrt{2x^2} $$

Thema: Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben ist die Funktion: \[ f(x)=\sqrt{2x^2}. \] Schritt 1: Funktion umschreiben (als Potenz) Nutze \(\sqrt{u}=u^{\tfrac12}\). Dann gilt: \[ f(x) = (2x^2)^{\tfrac12}. \] Schritt 2: Kettenregel anwenden Setze die „innere Funktion“ \(u(x)=2x^2\) und die „äußere Funktion“ \(g(u)=u^{\tfrac12}\). Dann ist \[ f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x). \] 2a) Äußere Ableitung Für \(g(u)=u^{\tfrac12}\) gilt mit der Potenzregel:

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$$ f(x) = \log_a (x^2) $$

Thema: Ableitung (Formelsammlung) Lösung Gegeben: \( f(x) = \log_a(x^2) \) 1) Wichtige Umformung (Basiswechsel) Für Logarithmen zur Basis \(a\) ist es oft am einfachsten, zuerst die Basiswechsel-Formel zu benutzen: \[ \log_a(u) = \frac{\ln(u)}{\ln(a)} \] Dabei ist \(u\) eine Funktion von \(x\). Hier gilt \(u(x)=x^2\). Also: \[ f(x) = \log_a(x^2) = \frac{\ln(x^2)}{\ln(a)} \] 2) Konstante ausklammern

$$ f(x) = \log_a (x^2) $$ Weiterlesen »