Aufgabe: Bestimmtes Integral
Lösung
Gegeben ist das Integral
\(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x + 1)\,dx\).
Als Stammfunktion ist angegeben: \(\,F(x)=x^2+x\).
Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Für ein bestimmtes Integral gilt:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) – F(a)\),
wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist (also \(F'(x)=f(x)\)).
Schritt 2: Prüfen, ob die Stammfunktion passt
Wir leiten \(F(x)=x^2+x\) ab:
\(\displaystyle F'(x) = (x^2)‘ + (x)‘ = 2x + 1\).
Das ist genau der Integrand \((2x+1)\). Also ist die Stammfunktion korrekt.
Schritt 3: Stammfunktion an den Grenzen auswerten
Jetzt setzt man zuerst die obere Grenze \(3\) ein:
\(\displaystyle F(3) = 3^2 + 3\).
Dann setzt man die untere Grenze \(1\) ein:
\(\displaystyle F(1) = 1^2 + 1\).
Schritt 4: Differenz bilden
Das Integral ist dann:
\(\displaystyle F(3) – F(1) = (3^2 + 3) – (1^2 + 1)\).
Rechentipp (ohne Taschenrechner)
- Berechne zuerst die Quadrate: \(3^2\) und \(1^2\).
- Setze die Werte in die Klammern ein.
- Achte beim Subtrahieren besonders auf die Klammern: Das Minus vor der zweiten Klammer ändert die Vorzeichen darin.
Wenn du die letzten einfachen Rechenschritte ausführst, erhältst du den Zahlenwert des Integrals.