$$ f(x)=\sin x+2\cos x+2 $$

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Thema: Stammfunktionen von sin und cos

Lösung

Aufgabe

Gegeben ist die Funktion

\(f(x)=\sin x+2\cos x+2\).

Bestimme eine Stammfunktion \(F(x)\), also eine Funktion mit \(F'(x)=f(x)\).

Wichtige Grundregeln

  • \(\displaystyle \int \sin x\,dx = -\cos x + C\), denn \(\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x\).
  • \(\displaystyle \int \cos x\,dx = \sin x + C\), denn \(\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x\).
  • \(\displaystyle \int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx\) (Faktorregel).
  • \(\displaystyle \int (g(x)+h(x))\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx\) (Summenregel).
  • \(\displaystyle \int 1\,dx = x + C\) und damit \(\int 2\,dx = 2x + C\).

Schritt-für-Schritt-Lösung

1) Funktion in einzelne Terme zerlegen

\[
f(x)=\sin x \;+\; 2\cos x \;+\; 2
\]
Wir integrieren jeden Summanden einzeln.

2) Jeden Summanden integrieren

a) \(\sin x\)
\[
\int \sin x\,dx = -\cos x
\]

b) \(2\cos x\)
Zuerst den Faktor 2 vor das Integral ziehen:
\[
\int 2\cos x\,dx = 2\int \cos x\,dx = 2\sin x
\]

c) \(2\)
\[
\int 2\,dx = 2x
\]

3) Alles zusammensetzen und Integrationskonstante ergänzen

\[
F(x)=(-\cos x) + (2\sin x) + (2x) + C
\]

Kontrolle (Ableiten)

Um zu prüfen, ob es stimmt, leitet man \(F(x)\) ab:

  • \(\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x\)
  • \(\frac{d}{dx}(2\sin x)=2\cos x\)
  • \(\frac{d}{dx}(2x)=2\)
  • \(\frac{d}{dx}(C)=0\)

Damit ergibt sich wieder
\[
F'(x)=\sin x+2\cos x+2=f(x).
\]

Tipps

  • Merke dir die beiden Kernableitungen: \((\sin x)’=\cos x\) und \((\cos x)’=-\sin x\). Daraus folgen direkt die Stammfunktionen.
  • Bei Konstanten wie \(2\) gilt: „Eine Zahl wird beim Integrieren zu Zahl \(\times x\)“.
  • Die Konstante \(C\) am Ende nie vergessen: Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante unterscheiden.

Hinweis: Die angegebene korrekte Stammfunktion lautet
\(F(x)=-\cos x+2\sin x+2x+C\).
(Hier wurde gezeigt, wie man sie herleitet.)

Unbedingt lesen