Wurzeln
Lösung
Aufgabe: \(\sqrt{1024}\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben)
1) Idee: Schreibe 1024 als Potenz von 2
Bei solchen Zahlen lohnt es sich oft zu prüfen, ob sie eine „glatte“ Potenz sind.
Wir bauen 1024 durch Verdoppeln auf:
- \(2^5 = 32\)
- \(2^{10} = (2^5)^2 = 32^2\)
Jetzt rechnen wir \(32^2\) im Kopf:
\(32^2 = (30+2)^2 = 30^2 + 2\cdot 30 \cdot 2 + 2^2 = 900 + 120 + 4 = 1024\).
Also gilt: \(1024 = 32^2\) (bzw. auch \(1024 = 2^{10}\)).
2) Wurzelregel anwenden
Wenn \(a^2 = 1024\), dann ist \(\sqrt{1024} = a\) (genauer: die positive Zahl, deren Quadrat 1024 ist).
Da wir oben gezeigt haben, dass \(32^2 = 1024\), muss \(\sqrt{1024}\) genau diese positive Zahl sein.
Tipps
- Merke dir einige Quadratzahlen: \(16^2=256\), \(32^2=1024\), \(64^2=4096\). Das hilft bei vielen Wurzelaufgaben.
- Wenn die Zahl eine Zweierpotenz ist (endet oft auf 24, 48, 96, …), lohnt sich der Blick auf \(2^{2n}\), denn \(\sqrt{2^{2n}}=2^n\).
Hinweis: Das korrekte Ergebnis ist gegeben; schreibe es erst ganz am Ende in dein Heft, nachdem du die Schritte nachvollzogen hast.