Aufgabe
Lösung
Gegeben ist die quadratische Gleichung:
\(x^2 – 32 = 0\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben)
1) In die Form \(x^2 = q\) bringen
Die Gleichung hat die Form \(x^2 – q = 0\). Ziel ist, alles außer \(x^2\) auf die andere Seite zu bringen.
Addiere dazu \(32\) auf beiden Seiten:
\(x^2 – 32 + 32 = 0 + 32\)
\(\Rightarrow x^2 = 32\)
2) Wurzel ziehen (zwei Lösungen beachten)
Wenn \(x^2 = 32\), dann erhält man beim Wurzelziehen immer zwei Lösungen:
\(x = \pm \sqrt{32}\)
3) Wurzel vereinfachen
Vereinfache \(\sqrt{32}\), indem du \(32\) in ein Produkt zerlegst, das eine Quadratzahl enthält:
\(32 = 16 \cdot 2\)
Dann gilt:
\(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16}\cdot\sqrt{2}\)
\(= 4\sqrt{2}\)
4) Lösungsmenge aufschreiben
Setze die vereinfachte Wurzel wieder in \(x = \pm \sqrt{32}\) ein und schreibe die beiden Lösungen als Lösungsmenge \(L\) auf.
(Hier sollst du nun selbst die beiden Werte mit dem Plus- und Minuszeichen notieren.)
Tipps
- Bei Gleichungen der Form \(x^2 = a\) gibt es (für \(a>0\)) immer zwei Lösungen: eine positive und eine negative.
- Zum Vereinfachen von Wurzeln hilft es, die Zahl unter der Wurzel in „Quadratzahl · Rest“ zu zerlegen (z.B. \(32 = 16\cdot 2\)).
- Kontrollidee: Wenn du deine Lösung quadrierst, muss wieder \(32\) herauskommen.