Thema: E-Funktion ableiten
Lösung
Gegeben: \(y = e^{3x}\)
Gesucht: \(y’\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
Hier liegt eine verkettete Funktion vor, weil im Exponenten nicht nur \(x\) steht,
sondern \(3x\). Deshalb benutzt man die Kettenregel.
1) Äußere und innere Funktion erkennen
Schreibe \(y\) als:
\[
y = e^{u} \quad \text{mit} \quad u = 3x
\]
- Äußere Funktion: \(f(u) = e^{u}\)
- Innere Funktion: \(u(x) = 3x\)
2) Äußere Funktion ableiten
Die Ableitung von \(e^{u}\) nach \(u\) ist wieder \(e^{u}\):
\[
f'(u) = e^{u}
\]
3) Innere Funktion ableiten
\[
u(x) = 3x \quad \Rightarrow \quad u'(x) = 3
\]
4) Kettenregel anwenden
Die Kettenregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr) = e^{u(x)} \cdot u'(x)
\]
Einsetzen von \(u(x)=3x\) und \(u'(x)=3\) ergibt:
\[
y‘ = e^{3x} \cdot 3
\]
Tipps
- Merksatz: \(\frac{d}{dx}(e^{g(x)}) = e^{g(x)} \cdot g'(x)\)
- Kontrollfrage: Steht im Exponenten etwas anderes als nur \(x\)? Dann fast immer: Kettenregel.
- Schreibe das Ergebnis gern auch als \(3e^{3x}\) (gleiche Bedeutung), aber ändere dabei nichts am Inhalt.
Hinweis: Du hast als korrektes Ergebnis bereits \(y‘ = e^{3x} \times 3\) angegeben — das entspricht genau dem,
was man mit der Kettenregel erhält.