Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel)
Lösung
Gegeben: \( y = e^x \cdot x^{14} \)
1) Erkennen der Struktur
Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- \(f(x) = e^x\)
- \(g(x) = x^{14}\)
Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, benutzt man die Produktregel.
2) Produktregel aufschreiben
\[
(f \cdot g)‘ = f‘ \cdot g + f \cdot g‘
\]
3) Einzelne Ableitungen bestimmen
a) Ableitung von \(f(x)=e^x\):
\[
f'(x) = e^x
\]
b) Ableitung von \(g(x)=x^{14}\):
Hier gilt die Potenzregel \((x^n)‘ = n x^{n-1}\):
\[
g'(x) = 14x^{13}
\]
4) In die Produktregel einsetzen
\[
y‘ = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)
\]
Setze nun die gefundenen Terme ein:
\[
y‘ = (e^x)\cdot (x^{14}) + (e^x)\cdot (14x^{13})
\]
5) Tipp zum Vereinfachen (ohne Endergebnis auszurechnen)
In beiden Summanden kommt \(e^x\) vor (und sogar auch \(x^{13}\)). Man kann also
einen gemeinsamen Faktor ausklammern, um die Ableitung übersichtlicher zu machen.
Beispiel-Idee: Erst \(e^x\) ausklammern, oder noch weiter \(e^x x^{13}\) ausklammern.
So lassen sich Fehler leichter erkennen.
Hinweis: Deine angegebene Ableitung entspricht genau dem Ergebnis der Produktregel.