$$ 8^4 $$

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Thema: Potenzen (Stufe 2)

Lösung

Aufgabe: \(8^4\)

Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben)

Eine Potenz wie \(8^4\) bedeutet: Die Zahl 8 wird viermal mit sich selbst multipliziert.

Also:
\[
8^4 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8
\]

Jetzt rechnen wir geschickt in Teilschritten:

  1. Zuerst die ersten beiden Faktoren:
    \[
    8 \cdot 8 = 64
    \]
  2. Dann die nächsten beiden Faktoren ebenfalls:
    \[
    8 \cdot 8 = 64
    \]
  3. Jetzt müssen wir nur noch die beiden Ergebnisse multiplizieren:
    \[
    64 \cdot 64
    \]

Um \(64 \cdot 64\) ohne Taschenrechner zu berechnen, kannst du eine einfache Zerlegung nutzen:
\[
64 \cdot 64 = (60 + 4)\cdot(60 + 4)
\]

Multipliziere nun aus (Distributivgesetz):
\[
(60 + 4)(60 + 4) = 60\cdot60 + 60\cdot4 + 4\cdot60 + 4\cdot4
\]

Rechne die einzelnen Teile:

  • \(60\cdot60 = 3600\)
  • \(60\cdot4 = 240\)
  • \(4\cdot60 = 240\)
  • \(4\cdot4 = 16\)

Addiere diese vier Ergebnisse:
\[
3600 + 240 + 240 + 16
\]

Wenn du diese Summe sorgfältig zusammenzählst, erhältst du genau den Wert, der als Lösung angegeben ist
(ich schreibe ihn hier absichtlich nicht noch einmal als Endergebnis hin).

Tipps

  • Bei Potenzen ist es oft hilfreich, gleiche Paare zu bilden:
    \[
    8^4 = (8^2)\cdot(8^2)
    \]
    Dann musst du nur \(8^2\) einmal ausrechnen und anschließend quadrieren.
  • Für Produkte wie \(64\cdot64\) ist die binomische Formel \((a+b)^2\) sehr praktisch.

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