Thema: Sinus & Ableitung (Produktregel)
Lösung
Gegeben
\(f(x)=x^3\cdot \sin x\)
Ziel
Die Ableitung \(f'(x)\) bestimmen.
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Erkennen der passenden Regel
\(f(x)\) ist ein Produkt aus zwei Funktionen:
- \(u(x)=x^3\)
- \(v(x)=\sin x\)
Für die Ableitung eines Produkts nutzt man die Produktregel:
\[
(u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘
\]
2) Einzelableitungen bilden
Zuerst \(u'(x)\):
\[
u(x)=x^3 \quad\Rightarrow\quad u'(x)=3x^2
\]
Dann \(v'(x)\):
\[
v(x)=\sin x \quad\Rightarrow\quad v'(x)=\cos x
\]
3) Produktregel einsetzen
Jetzt alles in \((u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v’\) einsetzen:
\[
f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)
\]
\[
f'(x)= (3x^2)\cdot (\sin x) + (x^3)\cdot (\cos x)
\]
Kontroll-Tipps (ohne Ausrechnen)
-
Struktur-Check: Bei der Produktregel entstehen immer zwei Summanden.
Hier siehst du genau zwei Terme: einmal mit \(\sin x\) und einmal mit \(\cos x\). - Ableitungsregeln merken: \((x^n)’=n x^{n-1}\) und \((\sin x)’=\cos x\).
-
Typischer Fehler: Nicht versuchen, \((x^3\sin x)’\) als \((x^3)’\cdot(\sin x)’\) zu schreiben
– das wäre falsch. Es muss die Produktregel sein.
Weiterer Hinweis
Du könntest den Ausdruck später (falls verlangt) auch noch ausklammern, z.B. \(x^2\),
um ihn übersichtlicher zu machen. Für die Ableitung selbst ist das aber nicht nötig.
(Die endgültige Ableitung ist damit vollständig hergeleitet.)