Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\(y=\sqrt[3]{x}\)
Ziel
Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel.
Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben
Die dritte Wurzel kann man als Potenz mit Exponent \(\frac13\) schreiben:
\[
\sqrt[3]{x} = x^{\frac13}.
\]
Also gilt:
\[
y = x^{\frac13}.
\]
Schritt 2: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}.
\]
Hier ist \(a=\frac13\). Setze das ein:
\[
y‘ = \frac13 \cdot x^{\frac13 – 1}.
\]
Schritt 3: Exponenten vereinfachen
Rechne den Exponenten aus:
\[
\frac13 – 1 = \frac13 – \frac33 = -\frac23.
\]
Damit:
\[
y‘ = \frac13 \cdot x^{-\frac23}.
\]
Schritt 4: Negative Potenz wieder als Bruch/Wurzel schreiben
Eine negative Potenz bedeutet „Kehrwert“:
\[
x^{-\frac23}=\frac{1}{x^{\frac23}}.
\]
Und
\[
x^{\frac23}=\sqrt[3]{x^2},
\]
weil „\(\frac23\)“ heißt: erst quadrieren (\(x^2\)), dann die dritte Wurzel ziehen.
Also kannst du schreiben:
\[
y‘ = \frac13 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}.
\]
Tipps
- Wurzeln fast immer zuerst in Potenzen umschreiben (das macht das Ableiten viel leichter).
- Bei Brüchen im Exponenten: \(\frac{m}{n}\) bedeutet „\(m\)-te Potenz“ und dann „\(n\)-te Wurzel“.
- Negative Exponenten immer als Kehrwert schreiben, dann sieht der Ausdruck oft „schöner“ aus.
Hinweis: Dein angegebenes Ergebnis entspricht genau der Form, die man am Ende erhält.
Ich habe es hier absichtlich nicht als „Endergebnis“ markiert, sondern nur hergeleitet.