Thema: Binomische Formeln \((a \pm b)^2\)
Lösung
Aufgabe
\((3a + 4b)^2\)
Vorgehensweise (mit allen Schritten)
Wir erkennen eine Quadrat-binomial-Form:
\[
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]
Hier ist:
- \(x = 3a\)
- \(y = 4b\)
Jetzt setzen wir das in die Formel ein:
\[
(3a + 4b)^2 = (3a)^2 + 2\cdot(3a)\cdot(4b) + (4b)^2
\]
1) Ersten Term quadrieren
\[
(3a)^2 = 3^2\cdot a^2 = 9a^2
\]
2) Mittleren Term berechnen: \(2xy\)
\[
2\cdot(3a)\cdot(4b) = 2\cdot 3 \cdot 4 \cdot a \cdot b
\]
Multipliziere zuerst die Zahlen:
\[
2\cdot 3 \cdot 4 = 6\cdot 4 = 24
\]
Also wird der mittlere Term:
\[
24ab
\]
3) Dritten Term quadrieren
\[
(4b)^2 = 4^2\cdot b^2 = 16b^2
\]
Zusammenfügen
Setze alle drei Teile wieder zusammen:
\[
(3a + 4b)^2 = 9a^2 + 24ab + 16b^2
\]
Tipps zum leichteren Lösen
- Schreibe dir immer klar hin, was \(x\) und was \(y\) ist (hier: \(x=3a\), \(y=4b\)).
- Beim mittleren Term \(2xy\): Multipliziere erst die Zahlen (2·3·4) und hänge dann die Buchstaben \(ab\) an.
- Achte darauf, dass beim Quadrieren auch die Variable quadriert wird: \((3a)^2 = 9a^2\), nicht \(9a\).
(Die angegebene korrekte Lösung passt zu den oben gezeigten Schritten.)