Aufgabe: Gleichungen mit Brüchen lösen
Lösung
Gegeben: \(\frac{5}{8}x – 3 = 7\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Konstante Zahl entfernen (erst „-3“ loswerden)
Ziel: Den Term ohne \(x\) auf die andere Seite bringen.
Addiere dazu auf beiden Seiten \(3\):
\[
\frac{5}{8}x – 3 + 3 = 7 + 3
\]
Links kürzt sich \(-3 + 3\) weg:
\[
\frac{5}{8}x = 10
\]
2) Bruchfaktor vor \(x\) entfernen
Jetzt steht \(x\) noch mit dem Faktor \(\frac{5}{8}\) da. Um \(x\) allein zu bekommen,
teilst du durch \(\frac{5}{8}\) (oder multiplizierst mit dem Kehrwert \(\frac{8}{5}\)).
\[
x = 10 : \frac{5}{8}
\]
Division durch einen Bruch bedeutet Multiplikation mit dem Kehrwert:
\[
x = 10 \cdot \frac{8}{5}
\]
3) Ohne Taschenrechner vereinfachen
Schreibe \(10\) als Bruch: \(\frac{10}{1}\):
\[
x = \frac{10}{1}\cdot\frac{8}{5}
\]
Jetzt kannst du kürzen, bevor du multiplizierst (das macht es viel leichter):
\(10\) und \(5\) haben den gemeinsamen Faktor \(5\):
\[
\frac{10}{1}\cdot\frac{8}{5} = \frac{10\div 5}{1}\cdot\frac{8}{5\div 5}
= \frac{2}{1}\cdot\frac{8}{1}
\]
Dann bleibt:
\[
x = 2\cdot 8
\]
Kontroll-Tipp (Probe)
Setze deinen Wert für \(x\) (also das Ergebnis von \(2\cdot 8\)) in die Ausgangsgleichung
\(\frac{5}{8}x – 3 = 7\) ein und prüfe, ob links wirklich \(7\) herauskommt.
Rechne dabei wieder möglichst mit Kürzen.
Merktipp
- Erst die Zahl ohne \(x\) „wegschaffen“ (hier: \(-3\) durch \(+3\)).
- Dann den Bruch vor \(x\) entfernen (mit dem Kehrwert multiplizieren).
- Vor dem Multiplizieren immer kürzen, das spart Rechenarbeit.
Hinweis: Du siehst, dass am Ende \(x\) als Produkt \(2\cdot 8\) dasteht. Rechne das selbst aus und vergleiche anschließend mit der angegebenen Lösung.