Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe: \(-2x^2 + 8x + 10 = 0\)
Gegeben (zur Kontrolle): \(p=-4,\; q=-5\)
1) Gleichung in die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
\(x^2 + px + q = 0\).
Deshalb müssen wir zuerst dafür sorgen, dass vor \(x^2\) eine 1 steht.
Ausgangsgleichung:
\[
-2x^2 + 8x + 10 = 0
\]
Teile nun jeden Term durch \(-2\) (weil \(-2\) der Koeffizient vor \(x^2\) ist):
\[
\frac{-2x^2}{-2} + \frac{8x}{-2} + \frac{10}{-2} = \frac{0}{-2}
\]
Das ergibt:
\[
x^2 – 4x – 5 = 0
\]
Jetzt kannst du direkt ablesen:
\[
p = -4,\quad q = -5
\]
(Das passt zu den angegebenen Werten.)
2) pq-Formel aufschreiben
Für \(x^2 + px + q = 0\) lautet die pq-Formel:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
3) Werte einsetzen (ohne „fertig auszurechnen“)
Setze \(p=-4\) und \(q=-5\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2 – (-5)}
\]
Jetzt kannst du die einzelnen Teile Schritt für Schritt vereinfachen:
-
\[
-\frac{-4}{2} = \frac{4}{2}
\] -
\[
\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = \left(-2\right)^2
\] -
Im Wurzelterm steht:
\[
\left(-2\right)^2 – (-5)
\]
Achtung: „minus minus“ wird zu „plus“.
Damit erhältst du eine Form:
\[
x_{1,2} = \frac{4}{2} \pm \sqrt{(-2)^2 + 5}
\]
Ab hier kannst du weiter vereinfachen, bis du zwei konkrete Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) hast.
Tipps zum leichteren Rechnen
- Vorzeichen checken: Besonders bei \(-q\) bzw. „\(-(-5)\)“ passieren oft Fehler.
- Erst normalisieren: Immer zuerst auf \(x^2 + px + q = 0\) bringen, sonst ist \(p\) und \(q\) falsch.
- Zwischenschritte sauber notieren: Dann siehst du schneller, wo ein Fehler steckt.
Wenn du möchtest, kannst du mir deinen nächsten Schritt (deine Vereinfachung unter der Wurzel und den Ausdruck für \(x_1, x_2\)) schicken,
dann prüfe ich ihn.