Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe
Löse die Gleichung: 5x2 + 5x − 30 = 0
Gegeben (bzw. Ziel nach dem Umformen): p = 1, q = −6
1) In die Normalform der pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form:
x2 + px + q = 0
Deine Gleichung lautet aber noch:
5x2 + 5x − 30 = 0
Damit vor x2 eine 1 steht, teilst du die ganze Gleichung durch 5:
5x2/5 + 5x/5 − 30/5 = 0/5
⇒ x2 + x − 6 = 0
Jetzt kannst du direkt ablesen:
p = 1 und q = −6
2) pq-Formel aufschreiben
Für x2 + px + q = 0 gilt:
x = −p/2 ± √((p/2)2 − q)
3) p und q einsetzen
Setze p = 1 und q = −6 ein:
x = −(1)/2 ± √((1/2)2 − (−6))
Achte auf das Minus vor q: −(−6) = +6.
Also wird unter der Wurzel:
(1/2)2 + 6
4) Ausdruck unter der Wurzel vereinfachen (ohne Taschenrechner)
(1/2)2 = 1/4
Also steht unter der Wurzel:
1/4 + 6
Tipp: Schreibe 6 als Viertel, damit du addieren kannst:
6 = 24/4
Dann:
1/4 + 24/4 = 25/4
Damit wird die Wurzel:
√(25/4)
5) Wurzel aus einem Bruch ziehen
Tipp: √(a/b) = √a / √b (wenn a und b positiv sind).
Also:
√(25/4) = √25 / √4
√25 = 5 und √4 = 2, also:
√(25/4) = 5/2
6) In die Lösungsform einsetzen (aber nicht ausrechnen bis zum Endergebnis)
Jetzt steht:
x = −1/2 ± 5/2
Tipps zum schnelleren Lösen
- Immer zuerst so umformen, dass vor x2 eine 1 steht (durch den Leitkoeffizienten teilen).
- Beim Einsetzen in die pq-Formel besonders auf das Vorzeichen von q achten: … − q.
- Brüche unter der Wurzel zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann erst die Wurzel ziehen.
Wenn du möchtest, kannst du als letzten Schritt die beiden Fälle
−1/2 + 5/2 und −1/2 − 5/2 getrennt ausrechnen
und anschließend kurz prüfen, ob beide Lösungen die ursprüngliche Gleichung erfüllen.