Aufgabe: Graph zeichnen
Lösung
Gegeben ist die Funktion:
y = 2x2 + 4x − 3
1) Wichtige Idee: In Scheitelpunktform umformen
Damit man eine Parabel schnell zeichnen kann, ist es am einfachsten, zuerst den
Scheitelpunkt zu finden. Das geht gut durch quadratische Ergänzung.
Starte mit:
y = 2x2 + 4x − 3
Faktoriere bei den x-Terms die 2 aus:
y = 2(x2 + 2x) − 3
Jetzt ergänzen wir in der Klammer zu einem Quadrat. Dafür nimmt man die Hälfte von 2,
also 1, und quadriert: 12 = 1.
Also addieren und subtrahieren wir 1 in der Klammer (damit sich der Wert nicht ändert):
y = 2(x2 + 2x + 1 − 1) − 3
Fasse zum Quadrat zusammen:
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
Damit:
y = 2((x + 1)2 − 1) − 3
Jetzt ausmultiplizieren:
y = 2(x + 1)2 − 2 − 3
Zusammenfassen:
y = 2(x + 1)2 − 5
2) Scheitelpunkt und Symmetrieachse ablesen
In der Form y = a(x − d)2 + e ist der Scheitelpunkt S(d|e).
Hier steht (x + 1) = (x − (−1)), also ist d = −1 und e = −5.
- Scheitelpunkt: S(−1 | −5)
- Symmetrieachse: x = −1
- Öffnung: nach oben (weil a = 2 > 0)
- Streckung: „schmaler“ als die Normalparabel (weil |2| > 1)
3) Punkte zum Zeichnen berechnen (Punktetabelle)
Am besten wählst du x-Werte symmetrisch um −1, z.B. −3, −2, −1, 0, 1.
Dann bekommst du automatisch passende Spiegelpunkte.
Wir benutzen die Scheitelpunktform: y = 2(x + 1)2 − 5
| x | Rechnung | y |
|---|---|---|
| −1 | y = 2(−1 + 1)2 − 5 = 2·02 − 5 | … |
| −2 | y = 2(−2 + 1)2 − 5 = 2·(−1)2 − 5 = 2·1 − 5 | … |
| 0 | y = 2(0 + 1)2 − 5 = 2·12 − 5 = 2·1 − 5 | … |
| −3 | y = 2(−3 + 1)2 − 5 = 2·(−2)2 − 5 = 2·4 − 5 | … |
| 1 | y = 2(1 + 1)2 − 5 = 2·22 − 5 = 2·4 − 5 | … |
Hinweis: Du siehst schon an den Rechnungen, dass die y-Werte für x = −2 und x = 0 gleich sind
(gleicher Abstand zur Achse x = −1). Ebenso sind die y-Werte für x = −3 und x = 1 gleich.
Trage diese Punkte ein und zeichne dann eine glatte Parabel durch die Punkte.
4) y-Achsenabschnitt (Kontrolle)
Der y-Achsenabschnitt ist bei x = 0. Setze in die Ausgangsfunktion ein:
y = 2·02 + 4·0 − 3 = −3
Das ist ein guter Kontrollpunkt: Der Graph muss durch den Punkt (0|−3) gehen.
(Das passt auch zur Tabelle oben.)
5) Zeichnen im Koordinatensystem (Vorgehen)
- Trage den Scheitelpunkt S(−1|−5) ein.
- Zeichne die Symmetrieachse x = −1 als gestrichelte Linie.
- Berechne (ohne Taschenrechner) die fehlenden y-Werte in der Tabelle und trage die Punkte ein.
- Verbinde die Punkte mit einer gleichmäßig gebogenen Linie (Parabel), die nach oben geöffnet ist.
Tipps zum leichteren Lösen
- Nutze immer zuerst die Scheitelpunktform – damit zeichnest du am schnellsten.
- Wähle x-Werte symmetrisch zur Achse (hier um −1), dann musst du weniger rechnen.
- Rechne Quadrate wie (−2)2 = 4 und (−1)2 = 1 sorgfältig: Das Quadrat ist immer nichtnegativ.
Wenn du möchtest, kannst du mir dein Koordinatensystem (Foto) schicken, dann kann ich dir sagen,
ob die Punkte und die Parabel korrekt eingezeichnet sind.