PQ-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Gegeben
Gleichung:
\(x^2 + 4x – 12 = 0\)
Hier ist die Normalform bereits \(x^2 + px + q = 0\), also:
- \(p = 4\)
- \(q = -12\)
Schritt 1: PQ-Formel aufschreiben
Für \(x^2 + px + q = 0\) lautet die PQ-Formel:
\[
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 – q}
\]
Schritt 2: Werte einsetzen
Setze \(p=4\) und \(q=-12\) ein:
\[
x_{1,2} = -\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 – (-12)}
\]
Schritt 3: Erst den „einfachen“ Teil vereinfachen
Berechne \(-\frac{4}{2}\) und \(\frac{4}{2}\):
\[
-\frac{4}{2} = -2
\quad\text{und}\quad
\frac{4}{2} = 2
\]
Damit wird die Formel zu:
\[
x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{(2)^2 – (-12)}
\]
Schritt 4: Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante) vereinfachen
Jetzt Schritt für Schritt:
- \((2)^2 = 4\)
- \(-(-12) = +12\) (Minus mal Minus ergibt Plus)
Also:
\[
(2)^2 – (-12) = 4 + 12
\]
Damit:
\[
x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 12}
\]
Schritt 5: Wurzel möglichst „schön“ machen
Vereinfache zuerst die Summe unter der Wurzel:
\[
\sqrt{4 + 12} = \sqrt{16}
\]
Und dann:
\[
x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{16}
\]
Schritt 6: Zwei Lösungen getrennt aufschreiben (ohne auszurechnen)
Nun entstehen zwei Werte:
\[
x_1 = -2 + \sqrt{16}
\]
\[
x_2 = -2 – \sqrt{16}
\]
Tipps
- Immer zuerst prüfen, ob die Gleichung wirklich in der Form \(x^2 + px + q = 0\) steht. Hier passt es direkt.
- Rechne unter der Wurzel besonders sorgfältig: Das Vorzeichen bei \(-q\) ist eine häufige Fehlerquelle.
- Wenn unter der Wurzel eine Quadratzahl entsteht (wie hier), wird das Ergebnis besonders einfach.
Hinweis: Wenn du möchtest, kannst du als Kontrolle am Ende die gefundenen Ausdrücke in die Ausgangsgleichung einsetzen und prüfen, ob \(0\) herauskommt.