Thema: pq-Formel für quadratische Gleichungen
Lösung
Aufgabe: Löse die Gleichung \(2x^2+7x+3=0\) mit der pq-Formel.
Gegeben (bereits umgeformt): \(p=\frac{7}{2},\; q=\frac{3}{2}\)
1) Gleichung in die Normalform für die pq-Formel bringen
Die pq-Formel gilt für Gleichungen der Form
\[
x^2 + px + q = 0.
\]
Deshalb teilt man die Ausgangsgleichung durch den Leitkoeffizienten (hier: \(2\)):
\[
2x^2+7x+3=0 \quad\Big|:2
\]
\[
x^2+\frac{7}{2}x+\frac{3}{2}=0
\]
Damit liest man ab:
\[
p=\frac{7}{2},\quad q=\frac{3}{2}.
\]
(Das passt zu den angegebenen Werten.)
2) pq-Formel aufschreiben
Für
\[
x^2+px+q=0
\]
lautet die pq-Formel:
\[
x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}.
\]
3) Werte einsetzen
Setze \(p=\frac{7}{2}\) und \(q=\frac{3}{2}\) ein:
\[
x_{1,2}=-\frac{\frac{7}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\frac{7}{2}}{2}\right)^2-\frac{3}{2}}.
\]
3a) Den Term \(\frac{p}{2}\) vereinfachen
\[
\frac{p}{2}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{7}{4}.
\]
Also:
\[
x_{1,2}=-\frac{7}{4}\pm\sqrt{\left(\frac{7}{4}\right)^2-\frac{3}{2}}.
\]
3b) Ausdruck unter der Wurzel (Diskriminante bei der pq-Formel) berechnen
Zuerst quadrieren:
\[
\left(\frac{7}{4}\right)^2=\frac{49}{16}.
\]
Dann \(\frac{3}{2}\) auf den Nenner \(16\) bringen:
\[
\frac{3}{2}=\frac{3\cdot 8}{2\cdot 8}=\frac{24}{16}.
\]
Jetzt subtrahieren:
\[
\frac{49}{16}-\frac{24}{16}=\frac{25}{16}.
\]
Damit steht unter der Wurzel:
\[
\sqrt{\frac{25}{16}}.
\]
4) Wurzel vereinfachen
Nutze \(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\) (für \(a,b>0\)):
\[
\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}=\frac{5}{4}.
\]
5) In die Lösungsform einsetzen (ohne Endergebnis auszurechnen)
Damit erhältst du:
\[
x_{1,2}=-\frac{7}{4}\pm\frac{5}{4}.
\]
Hinweis: Ab hier würdest du die beiden Fälle getrennt betrachten:
einmal mit „+“ und einmal mit „−“ und dann jeweils die Brüche zusammenfassen.
(Das ist der letzte kleine Rechenschritt.)
Tipps zum leichteren Rechnen
-
Brüche unter der Wurzel immer zuerst auf einen gemeinsamen Nenner bringen (hier \(16\)).
Dann wird das Subtrahieren viel einfacher. - Achte darauf, \(\frac{p}{2}\) sauber zu berechnen: „durch 2 teilen“ heißt „mit \(\frac{1}{2}\) multiplizieren“.
-
Wenn unter der Wurzel ein „schöner“ Bruch wie \(\frac{25}{16}\) entsteht, kannst du oft direkt die Wurzel ziehen,
weil Zähler und Nenner Quadratzahlen sind.