Aufgabe
Lösung
Berechne das bestimmte Integral
\(\displaystyle \int_{-1}^{1} (x^2+1)\,dx\).
Gegeben ist als Stammfunktion: \(\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+x\).
Vorgehen (Hauptsatz der Integralrechnung)
Für ein bestimmtes Integral gilt:
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
\]
wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Schritt 1: Obere Grenze einsetzen (\(x=1\))
Setze \(x=1\) in \(F(x)=\frac{x^3}{3}+x\) ein:
\[
F(1)=\frac{1^3}{3}+1.
\]
Vereinfache:
\[
F(1)=\frac{1}{3}+1.
\]
Schritt 2: Untere Grenze einsetzen (\(x=-1\))
Setze \(x=-1\) ein:
\[
F(-1)=\frac{(-1)^3}{3}+(-1).
\]
Achte auf die Vorzeichen: \((-1)^3=-1\). Also:
\[
F(-1)=\frac{-1}{3}-1.
\]
Schritt 3: Differenz bilden \(F(1)-F(-1)\)
Jetzt:
\[
\int_{-1}^{1} (x^2+1)\,dx = F(1)-F(-1)
= \left(\frac{1}{3}+1\right) – \left(\frac{-1}{3}-1\right).
\]
Tipp zum Vereinfachen: Beim Subtrahieren einer Klammer ändern sich die Vorzeichen:
\[
\left(\frac{1}{3}+1\right) – \left(\frac{-1}{3}-1\right)
= \left(\frac{1}{3}+1\right) + \left(\frac{1}{3}+1\right).
\]
Jetzt kannst du gleichartige Terme zusammenfassen (Brüche mit Brüchen, Ganze Zahlen mit Ganzen Zahlen),
ohne dass ich das Endergebnis ausschreibe.
Zusatz-Tipp (Symmetrie)
Die Funktion \(f(x)=x^2+1\) ist gerade (symmetrisch zur \(y\)-Achse), weil \(f(-x)=f(x)\).
Dann gilt:
\[
\int_{-1}^{1} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} f(x)\,dx.
\]
Das kann Rechnungen oft vereinfachen. Du kannst also alternativ auch
\(\displaystyle 2\left(F(1)-F(0)\right)\) berechnen.