Aufgabe
Lösung
Berechne das bestimmte Integral
\[
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\,dx.
\]
Als Stammfunktion ist gegeben: \(\,F(x)=\sqrt{x}\).
Schritt 1: Integrand verstehen (Potenzschreibweise)
Der Integrand ist
\[
\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.
\]
Beachte: \(x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\). Das ist bei \(x=0\) nicht definiert, daher handelt es sich um ein uneigentliches Integral.
Schritt 2: Uneigentliches Integral als Grenzwert schreiben
Weil der Ausdruck bei \(x=0\) problematisch ist, ersetzt man die untere Grenze \(0\) durch eine kleine Zahl \(a>0\) und lässt \(a\) gegen \(0\) gehen:
\[
\int_{0}^{1}\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\,dx
\;=\;
\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{1}\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\,dx.
\]
Schritt 3: Stammfunktion verwenden
Gegeben ist \(F(x)=\sqrt{x}\). Das passt, denn:
\[
F'(x) = \frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)
= \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}.
\]
Also ist \(F\) tatsächlich eine Stammfunktion des Integranden.
Schritt 4: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
Für das Integral von \(a\) bis \(1\) gilt:
\[
\int_{a}^{1}\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\,dx = F(1)-F(a).
\]
Setze \(F(x)=\sqrt{x}\) ein:
\[
F(1)-F(a)=\sqrt{1}-\sqrt{a}.
\]
Schritt 5: Grenzwert bilden
Nun den Grenzwert für \(a\to 0^+\) auswerten:
\[
\lim_{a\to 0^+}\left(\sqrt{1}-\sqrt{a}\right).
\]
Dabei gilt \(\sqrt{1}=1\) und \(\sqrt{a}\to 0\), wenn \(a\to 0^+\).
Hinweise / Tipps
- Immer prüfen, ob der Integrand an den Grenzen definiert ist. Bei Potenzen mit negativem Exponenten ist \(x=0\) oft kritisch.
-
Wenn eine Stammfunktion gegeben ist, ist der schnellste Weg:
Grenzwert-Form (bei Uneigentlichkeit) + Hauptsatz. - Zur Kontrolle kann man kurz ableiten: Wenn \(F'(x)\) wieder der Integrand ist, passt alles.
Führe nun im letzten Schritt den Grenzwert vollständig aus und formuliere daraus den Wert des Integrals.