Aufgabe: Bestimmtes Integral
Lösung
Gegeben ist das Integral
\[
\int_{-1}^{2} (3x^2+2)\,dx
\]
und als Stammfunktion ist angegeben:
\[
F(x)=x^3+2x.
\]
Schritt 1: Idee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Für ein bestimmtes Integral gilt:
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
\]
wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Hier ist \(a=-1\) und \(b=2\). Also brauchst du:
\[
F(2)-F(-1).
\]
Schritt 2: Funktionswerte einsetzen
Berechne zuerst \(F(2)\):
\[
F(2)=2^3+2\cdot 2.
\]
Rechne die Potenz und das Produkt getrennt aus und addiere anschließend.
Danach berechne \(F(-1)\):
\[
F(-1)=(-1)^3+2\cdot(-1).
\]
Tipp: Achte besonders auf die Vorzeichen:
- \((-1)^3\) bleibt negativ, weil die Potenz ungerade ist.
- \(2\cdot(-1)\) ist ebenfalls negativ.
Schritt 3: Differenz bilden
Setze die beiden Werte in
\[
F(2)-F(-1)
\]
ein:
\[
\bigl(2^3+2\cdot 2\bigr) – \bigl((-1)^3+2\cdot(-1)\bigr).
\]
Tipp zum leichteren Rechnen: Setze beim Subtrahieren eine Klammer um \(F(-1)\) und verteile dann das Minus:
\[
-(a+b) = -a – b.
\]
So vermeidest du typische Vorzeichenfehler.
Kontrolle (optional, aber hilfreich)
Du kannst kurz prüfen, ob \(F(x)=x^3+2x\) wirklich eine Stammfunktion ist, indem du ableitest:
\[
F'(x)=3x^2+2.
\]
Das passt genau zum Integranden \((3x^2+2)\). Damit ist die Methode korrekt.
Letzter Rechenschritt
Führe nun die Rechnungen aus (Potenz, Produkte, dann Subtraktion mit korrekten Vorzeichen).
Den Endwert erhältst du dadurch – ich lasse ihn hier absichtlich offen.