Aufgabe: Bestimmtes Integral
Lösung
Gegeben ist das Integral
\(\displaystyle \int_{-1}^{0} (x^2+x)\,dx\)
und eine Stammfunktion
\(\displaystyle F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\).
Schritt 1: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden
Für ein bestimmtes Integral gilt:
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a)\),
wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Hier ist \(a=-1\) und \(b=0\). Also:
\(\displaystyle \int_{-1}^{0} (x^2+x)\,dx = F(0)-F(-1)\).
Schritt 2: \(F(0)\) berechnen
Setze \(x=0\) in \(F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\) ein:
\(\displaystyle F(0)=\frac{0^3}{3}+\frac{0^2}{2}\).
Beide Terme enthalten eine \(0\), daher ist \(F(0)\) sofort klar.
Schritt 3: \(F(-1)\) berechnen
Setze \(x=-1\) ein:
\(\displaystyle F(-1)=\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}\).
Jetzt wichtig: Potenzen mit negativen Zahlen sorgfältig behandeln:
- \((-1)^3=-1\) (ungerade Potenz → bleibt negativ)
- \((-1)^2=1\) (gerade Potenz → wird positiv)
Damit kannst du \(F(-1)\) als Summe aus einem negativen Bruch und einem positiven Bruch schreiben.
Schritt 4: Differenz \(F(0)-F(-1)\) bilden
Setze die beiden Werte in
\(\displaystyle F(0)-F(-1)\) ein:
\(\displaystyle F(0)-F(-1)=\Big(\text{Wert bei }0\Big)-\Big(\text{Wert bei }-1\Big)\).
Achte beim Subtrahieren besonders auf die Klammer:
Wenn \(F(-1)\) z.B. einen negativen Anteil enthält, wird daraus beim Minus davor ein Plus.
Tipps zum leichteren Rechnen
- Schreibe \(F(-1)\) zuerst als zwei einzelne Brüche (z.B. \(\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}\)) und fasse dann zusammen.
- Beim Zusammenfassen von \(\frac{-1}{3}+\frac{1}{2}\): gemeinsamen Nenner bilden (hier \(6\)).
- Merke: \(F(0)\) ist bei solchen Polynomen fast immer sehr schnell, weil alles zu \(0\) wird.
Wenn du diese Schritte sauber ausführst, erhältst du den Wert des bestimmten Integrals.
(Den Endwert schreibe ich hier absichtlich nicht hin.)