Aufgabe: Bestimmtes Integral
Lösung
Gegeben ist das Integral
\(\displaystyle \int_{-1}^{2} (x^3-1)\,dx\)
und eine Stammfunktion
\(\displaystyle F(x)=\frac{x^4}{4}-x\).
1) Grundidee (Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Für ein bestimmtes Integral gilt:
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a),
\]
wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
Hier ist \(f(x)=x^3-1\), \(a=-1\) und \(b=2\). Also:
\[
\int_{-1}^{2} (x^3-1)\,dx = F(2)-F(-1).
\]
2) Funktionswerte einsetzen
a) \(F(2)\) berechnen
\[
F(2)=\frac{2^4}{4}-2.
\]
Zuerst die Potenz:
\[
2^4 = 16.
\]
Dann einsetzen:
\[
F(2)=\frac{16}{4}-2.
\]
Jetzt noch \(\frac{16}{4}\) vereinfachen:
\[
\frac{16}{4}=4.
\]
Also:
\[
F(2)=4-2.
\]
b) \(F(-1)\) berechnen
\[
F(-1)=\frac{(-1)^4}{4}-(-1).
\]
Wichtig: Gerade Potenz macht das Ergebnis positiv:
\[
(-1)^4 = 1.
\]
Also:
\[
F(-1)=\frac{1}{4}+1.
\]
3) Differenz \(F(2)-F(-1)\) bilden
Setze die beiden Ergebnisse in
\(\,F(2)-F(-1)\,\) ein:
\[
F(2)-F(-1) = (4-2) – \left(\frac{1}{4}+1\right).
\]
Tipp zum Vereinfachen: Klammer mit Minus davor sorgfältig auflösen:
\[
(4-2) – \left(\frac{1}{4}+1\right)
= (4-2) – \frac{1}{4} – 1.
\]
Jetzt kannst du die ganzen Zahlen zusammenfassen und anschließend den Bruch berücksichtigen.
(Hier stoppst du kurz vor dem endgültigen Zahlenwert.)
Tipps
-
Prüfe kurz, ob die Stammfunktion passt: Ableiten von
\(\frac{x^4}{4}-x\) ergibt \(x^3-1\). Das ist genau der Integrand. -
Achte bei negativen Grenzen besonders auf Klammern und Vorzeichen:
\(-(-1)=+1\). - Wenn Brüche vorkommen: Schreibe ganze Zahlen notfalls als Viertel (z.B. \(1=\frac{4}{4}\)), um sauber zu subtrahieren.