Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben: \(y = 8\sqrt{x}\)
Kontroll-Ergebnis (gegeben): \(y‘ = \frac{4}{\sqrt{x}}\)
Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben
Damit du die Potenzregel anwenden kannst, schreibst du die Wurzel um:
\[
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
\]
Also wird die Funktion:
\[
y = 8x^{\frac{1}{2}}
\]
Schritt 2: Faktorregel anwenden
Die Faktorregel sagt: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten stehen:
\[
(c \cdot f(x))‘ = c \cdot f'(x)
\]
Hier ist \(c=8\) und \(f(x)=x^{\frac{1}{2}}\). Also:
\[
y‘ = 8 \cdot \left(x^{\frac{1}{2}}\right)‘
\]
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
(x^n)‘ = n \cdot x^{n-1}
\]
Hier ist \(n=\frac{1}{2}\). Daher:
\[
\left(x^{\frac{1}{2}}\right)‘ = \frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}-1}
\]
Den Exponenten vereinfachst du:
\[
\frac{1}{2}-1 = \frac{1}{2}-\frac{2}{2} = -\frac{1}{2}
\]
Also:
\[
\left(x^{\frac{1}{2}}\right)‘ = \frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}
\]
Schritt 4: Mit dem Faktor 8 multiplizieren
Jetzt setzt du das in \(y‘ = 8 \cdot \left(x^{\frac{1}{2}}\right)’\) ein:
\[
y‘ = 8 \cdot \frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}
\]
Zuerst die Zahlen zusammenfassen:
\[
8 \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{2}
\]
Damit erhältst du:
\[
y‘ = \frac{8}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}
\]
Schritt 5: Negative Potenz wieder als Wurzel schreiben
Zur Erinnerung:
\[
x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}
\]
Damit kannst du \(y’\) in eine „Wurzel-Form“ bringen:
\[
y‘ = \frac{8}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}
\]
Das ist genau die Form, die zum gegebenen Kontroll-Ergebnis passt (ohne es hier endgültig auszurechnen).
Tipps
- Wurzeln immer zuerst als Potenzen schreiben: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Dann ist die Potenzregel direkt anwendbar.
- Konstante Faktoren (wie die 8) beim Ableiten einfach „vorne stehen lassen“.
- Negative Exponenten am Ende wieder als Bruch/Wurzel schreiben, damit das Ergebnis „schöner“ aussieht.