Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
\( y = 6\sqrt{x} \).
Bestimme die Ableitung \(y’\).
Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben
Die Potenzregel funktioniert am besten, wenn keine Wurzel mehr da steht.
Daher schreiben wir
\(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\).
Damit wird die Funktion zu
\( y = 6x^{\frac{1}{2}} \).
Schritt 2: Faktorregel anwenden
Die Faktorregel sagt: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten stehen:
\(\frac{d}{dx}\bigl(6x^{\frac{1}{2}}\bigr) = 6 \cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{\frac{1}{2}}\bigr)\).
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\(\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}\).
Hier ist \(n=\frac{1}{2}\). Also:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^{\frac{1}{2}}\right)
= \frac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}-1}
= \frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}.
\]
Schritt 4: Zusammenfassen
Setze das in Schritt 2 ein:
\[
y‘ = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}}\right).
\]
Jetzt kann man die Zahlen \(6\) und \(\frac{1}{2}\) zusammenfassen und anschließend
\(x^{-\frac{1}{2}}\) wieder als Wurzel schreiben, denn
\(x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\).
Tipps
- Wurzeln immer zuerst in Potenzen umschreiben: \(\sqrt{x}=x^{1/2}\). Dann ist die Potenzregel direkt anwendbar.
- Ein negativer Exponent bedeutet „steht im Nenner“: \(x^{-a}=\frac{1}{x^a}\).
- Am Ende lohnt es sich oft, das Ergebnis wieder mit Wurzeln zu schreiben, weil es übersichtlicher ist.
Hinweis: Das angegebene korrekte Ergebnis lautet \(y’=\frac{3}{\sqrt{x}}\).
Vergleiche damit, ob du beim Zusammenfassen auf genau diese Form kommst.