Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben: \(y = 9x^5\)
Gesucht: \(y’\) (die Ableitung von \(y\) nach \(x\))
Schritt 1: Erkenne die Struktur der Funktion
Die Funktion besteht aus einem konstanten Faktor und einer Potenz von \(x\):
- Konstanter Faktor: \(9\)
- Potenzterm: \(x^5\)
Schritt 2: Faktorregel anwenden
Die Faktorregel sagt:
\[
(c \cdot f(x))‘ = c \cdot f'(x)
\]
Hier ist \(c = 9\) und \(f(x) = x^5\). Also:
\[
(9x^5)‘ = 9 \cdot (x^5)‘
\]
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
(x^n)‘ = n \cdot x^{n-1}
\]
Setze \(n = 5\) ein:
\[
(x^5)‘ = 5 \cdot x^{5-1} = 5x^4
\]
Schritt 4: Ergebnisse zusammenführen
Setze das Ergebnis aus Schritt 3 in Schritt 2 ein:
\[
(9x^5)‘ = 9 \cdot (5x^4)
\]
Jetzt nur noch die Konstanten multiplizieren:
\[
9 \cdot 5 \, x^4
\]
Tipps zum schnelleren Lösen
- Schreibe dir die Standardformel direkt hin: \((a x^n)‘ = a \cdot n \cdot x^{n-1}\).
- Achte darauf, dass sich beim Ableiten nur der Exponent um 1 verringert (von \(5\) auf \(4\)).
- Den konstanten Faktor (hier \(9\)) kannst du einfach „mitnehmen“.
Wenn du möchtest, kannst du im letzten Schritt die Multiplikation der Zahlen noch ausführen und prüfen,
ob das mit der angegebenen Lösung übereinstimmt.