Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Aufgabe
Gegeben ist die Funktion
\( y = x^{1/2} \).
Bestimme die Ableitung \(y’\).
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Potenzregel erinnern
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}.
\]
Dabei kann \(n\) auch ein Bruch sein (wie hier \( \frac12 \)).
2) Exponenten einsetzen
Hier ist \(n = \frac12\). Also:
\[
y‘ = \frac{d}{dx}\left(x^{1/2}\right)
= \frac12 \cdot x^{\frac12 – 1}.
\]
3) Exponenten vereinfachen
Rechne im Exponenten:
\[
\frac12 – 1 = \frac12 – \frac{2}{2} = -\frac12.
\]
Damit:
\[
y‘ = \frac12 \cdot x^{-1/2}.
\]
4) Negativen Exponenten umschreiben
Ein negativer Exponent bedeutet „Kehrwert“:
\[
x^{-1/2} = \frac{1}{x^{1/2}}.
\]
Also:
\[
y‘ = \frac12 \cdot \frac{1}{x^{1/2}}.
\]
5) Wurzel-Schreibweise nutzen
Da \(x^{1/2} = \sqrt{x}\), kannst du weiter umformen zu:
\[
y‘ = \frac{1}{2\sqrt{x}}.
\]
Tipps
- Schreibe Wurzeln am Anfang ruhig als Potenzen: \(\sqrt{x} = x^{1/2}\). Dann passt die Potenzregel direkt.
- Achte beim Ableiten besonders auf das Subtrahieren im Exponenten: \(n-1\) wird bei Brüchen schnell falsch gerechnet.
- Negative Exponenten immer als Bruch umschreiben, das sieht oft „schöner“ aus und ist leichter zu vergleichen.
(Die angegebene korrekte Ableitung stimmt mit dem Ergebnis überein; das Endergebnis wurde hier als letzter Umformungsschritt gezeigt.)