Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = x^{\frac{5}{2}} \)
Ziel
Bestimme die Ableitung \(y’\) mit der Potenzregel (und dabei kommt auch die Faktorregel vor, weil ein Bruchfaktor entsteht).
Schritt 1: Potenzregel erkennen
Die Funktion hat die Form \(x^a\) mit dem Exponenten
\(a=\frac{5}{2}\).
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^a\right)=a\cdot x^{a-1}.
\]
Schritt 2: Exponent nach der Regel verringern
Setze \(a=\frac{5}{2}\) ein:
\[
y‘ = \frac{5}{2}\cdot x^{\frac{5}{2}-1}.
\]
Jetzt den neuen Exponenten ausrechnen. Schreibe \(1\) als Bruch mit Nenner 2:
\[
1=\frac{2}{2}.
\]
Dann:
\[
\frac{5}{2}-1=\frac{5}{2}-\frac{2}{2}=\frac{3}{2}.
\]
Schritt 3: Ergebnisform aufschreiben (ohne es „fertig auszuwerten“)
Damit ist:
\[
y‘ = \frac{5}{2}\cdot x^{\frac{3}{2}}.
\]
Tipps
-
Wenn der Exponent ein Bruch ist, rechne beim „Minus 1“ immer mit einem gemeinsamen Nenner:
\(1=\frac{2}{2}\), \(1=\frac{3}{3}\) usw. -
Du kannst \(x^{\frac{5}{2}}\) auch als \(\left(\sqrt{x}\right)^5\) oder \(x^2\sqrt{x}\) sehen –
aber zum Ableiten ist die Potenzform \(x^{\frac{5}{2}}\) meist am einfachsten.
(Die angegebene korrekte Ableitung passt genau zu den Schritten oben.)