Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\(y = x^{-1}\)
Ziel
Bestimme die Ableitung \(y’\) mit der Potenzregel (und ggf. der Faktorregel).
Schritt 1: Funktion als Potenz erkennen
Die Funktion ist bereits als Potenz geschrieben:
\[
y = x^{-1}.
\]
(Zur Erinnerung: \(x^{-1} = \frac{1}{x}\).)
Schritt 2: Potenzregel aufschreiben
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}.
\]
Dabei ist \(n\) eine reelle Zahl (also auch negativ möglich).
Schritt 3: Exponenten einsetzen
Hier ist \(n = -1\). Also:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right) = (-1)\cdot x^{-1-1}.
\]
Schritt 4: Exponenten vereinfachen
Jetzt den neuen Exponenten ausrechnen:
\[
-1-1 = -2.
\]
Damit wird der Ausdruck:
\[
(-1)\cdot x^{-2}.
\]
Schritt 5: Vorzeichen/Faktor klar schreiben (Faktorregel)
Der Faktor \((-1)\) bleibt einfach vorne stehen (das ist genau die Idee der Faktorregel: konstante Faktoren bleiben erhalten).
Du kannst also schreiben:
\[
y‘ = -x^{-2}.
\]
Tipp
Wenn du unsicher mit negativen Exponenten bist, kannst du vor dem Ableiten auch umschreiben:
\[
y = x^{-1} = \frac{1}{x}.
\]
Dann ist es leichter zu sehen, dass die Ableitung negativ sein muss (weil \(\frac{1}{x}\) für \(x>0\) fällt).
Trotzdem ist das Ableiten über die Potenzschreibweise meist am schnellsten.
Hinweis: Das Ergebnis stimmt mit der angegebenen Lösung überein, aber du solltest es am Ende selbst noch einmal aus den Schritten nachvollziehen.