Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = \frac{1}{x} \)
Ziel
Leite \(y\) nach \(x\) ab, indem du die Potenzregel (und ggf. die Faktorregel) benutzt.
Schritt 1: Bruch als Potenz schreiben
Die Potenzregel funktioniert am besten, wenn du keine Brüche hast. Schreibe deshalb
\[
\frac{1}{x} = x^{-1}.
\]
Also gilt:
\[
y = x^{-1}.
\]
Schritt 2: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}.
\]
Hier ist \(n = -1\). Setze das ein:
\[
y‘ = (-1)\cdot x^{-1-1}.
\]
Schritt 3: Exponenten vereinfachen
Im Exponenten steht:
\[
-1-1 = -2.
\]
Damit:
\[
y‘ = -1 \cdot x^{-2}.
\]
Schritt 4: Zurück in Bruchschreibweise
Ein negativer Exponent bedeutet wieder „im Nenner“:
\[
x^{-2} = \frac{1}{x^2}.
\]
Also:
\[
y‘ = -\frac{1}{x^2}.
\]
Tipps
- Wenn du einen Term wie \(\frac{1}{x^k}\) siehst, schreibe ihn als \(x^{-k}\). Dann ist die Potenzregel sofort anwendbar.
- Achte besonders auf das Minuszeichen beim Exponenten: \(x^{-1}\) führt beim Ableiten zu einem Vorzeichenwechsel, weil der Faktor \(n=-1\) vorne steht.
Hinweis zur Kontrolle
Dein angegebenes Ergebnis passt zur Rechnung. (Ich lasse es hier bewusst bei der Herleitung stehen.)