Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\(y = 10\sqrt{x}\)
Ziel
Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel.
Schritt 1: Wurzel als Potenz schreiben
Die Potenzregel funktioniert am besten, wenn keine Wurzel mehr da steht.
Merke:
\[
\sqrt{x} = x^{\frac12}.
\]
Also wird die Funktion:
\[
y = 10\sqrt{x} = 10x^{\frac12}.
\]
Schritt 2: Faktorregel anwenden
Die Faktorregel sagt:
\[
(c \cdot f(x))‘ = c \cdot f'(x).
\]
Hier ist \(c=10\) und \(f(x)=x^{\frac12}\). Also:
\[
y‘ = (10x^{\frac12})‘ = 10\cdot (x^{\frac12})‘.
\]
Schritt 3: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
(x^n)‘ = n\cdot x^{n-1}.
\]
Setze \(n=\frac12\):
\[
(x^{\frac12})‘ = \frac12 \cdot x^{\frac12 – 1}.
\]
Im Exponenten rechnest du:
\[
\frac12 – 1 = \frac12 – \frac{2}{2} = -\frac12.
\]
Damit:
\[
(x^{\frac12})‘ = \frac12 \cdot x^{-\frac12}.
\]
Schritt 4: Mit dem Faktor 10 multiplizieren
Jetzt wieder einsetzen:
\[
y‘ = 10 \cdot \left(\frac12 \cdot x^{-\frac12}\right).
\]
Multipliziere die Zahlen:
\[
10\cdot \frac12 = 5.
\]
Also:
\[
y‘ = 5 \cdot x^{-\frac12}.
\]
Schritt 5: Negative Potenz wieder als Wurzel schreiben
Merke:
\[
x^{-\frac12} = \frac{1}{x^{\frac12}} = \frac{1}{\sqrt{x}}.
\]
Daher kannst du schreiben:
\[
y‘ = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}.
\]
Kontroll-Tipp
Prüfe immer, ob du am Ende eine Form bekommst, die zur Musterlösung passt:
Häufig wird \(x^{-\frac12}\) als \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) geschrieben.
Hinweis: Den letzten Ausdruck kannst du nun genau so umformen, dass er mit der angegebenen richtigen Lösung übereinstimmt.