Aufgabe: Bestimmtes Integral
Lösung
Gegeben ist das bestimmte Integral
\[
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^2}+3\right)\,dx
\]
und eine Stammfunktion
\[
F(x)=-\frac{1}{x}+3x.
\]
1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt:
\[
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
\]
Hier ist \(f(x)=\frac{1}{x^2}+3\), \(a=1\), \(b=2\).
2) Stammfunktion kurz prüfen (optional, aber hilfreich)
Schreibe \(\frac{1}{x^2}\) als Potenz: \(\frac{1}{x^2}=x^{-2}\).
Dann ist
\[
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right)=(-1)\cdot(-1)\,x^{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^2},
\]
und
\[
\frac{d}{dx}(3x)=3.
\]
Also ist \(F'(x)=\frac{1}{x^2}+3\). Passt.
3) Werte einsetzen: \(F(2)\) und \(F(1)\)
Berechne zuerst
\[
F(2)=-\frac{1}{2}+3\cdot 2.
\]
Dann
\[
F(1)=-\frac{1}{1}+3\cdot 1.
\]
4) Differenz bilden
Setze in den Hauptsatz ein:
\[
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x^2}+3\right)\,dx = F(2)-F(1)
=\left(-\frac{1}{2}+3\cdot 2\right)-\left(-\frac{1}{1}+3\cdot 1\right).
\]
5) Vereinfachen (ohne Endergebnis auszurechnen)
Achte beim Ausmultiplizieren des Minuszeichens auf die Klammer:
\[
\left(-\frac{1}{2}+6\right)-\left(-1+3\right)
=\left(-\frac{1}{2}+6\right)+\left(1-3\right).
\]
Jetzt kannst du die ganzen Zahlen zusammenfassen und anschließend den Bruchteil berücksichtigen.
Tipps
- Schreibe Brüche wie \(\frac{1}{x^2}\) als Potenzen (\(x^{-2}\)); das macht Ableiten und Integrieren übersichtlicher.
- Bei bestimmten Integralen ist der wichtigste Schritt: immer \(F(b)-F(a)\) (oben minus unten).
- Beim Subtrahieren von \(F(1)\) unbedingt die Klammer setzen, damit keine Vorzeichenfehler passieren.