Vereinfachung mit binomischer Formel
Lösung
Gegeben ist der Ausdruck: \(28x^2 – 140xy + 175y^2\).
Unser Ziel ist es, diesen Ausdruck mithilfe einer binomischen Formel zu vereinfachen.
Schritte zur Lösung:
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Schauen wir uns den Ausdruck genauer an: \(28x^2 – 140xy + 175y^2\).
Wir erkennen, dass dieser Ausdruck der Form \(a^2 – 2ab + b^2\) ähnelt, was auf die zweite binomische Formel hinweist:
\((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).
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Identifizieren wir die einzelnen Teile:
- \(a^2 = 28x^2\)
- \(2ab = 140xy\)
- \(b^2 = 175y^2\)
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Wir müssen die Terme so umformen, dass sie der binomischen Formel entsprechen. Beginnen wir mit \(a^2\):
\(a^2 = 28x^2 \Rightarrow a = \sqrt{28} \cdot x = \sqrt{4 \cdot 7} \cdot x = 2\sqrt{7} \cdot x\).
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Nun \(b^2\):
\(b^2 = 175y^2 \Rightarrow b = \sqrt{175} \cdot y = \sqrt{25 \cdot 7} \cdot y = 5\sqrt{7} \cdot y\).
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Jetzt prüfen wir \(2ab\):
\(2ab = 2 \cdot (2\sqrt{7} \cdot x) \cdot (5\sqrt{7} \cdot y) = 2 \cdot 10 \cdot 7 \cdot xy = 140xy\), was korrekt ist.
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Nun setzen wir \(a\) und \(b\) in die binomische Formel ein:
\((2\sqrt{7} \cdot x – 5\sqrt{7} \cdot y)^2 = (2x – 5y)^2 \cdot 7\).
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Fassen wir alles zusammen:
\(28x^2 – 140xy + 175y^2 = 7(2x – 5y)^2\).
Tipps:
- Wenn du die binomische Formel erkennst, versuche, die Terme so zu ordnen, dass sie der Struktur der Formel entsprechen.
- Überprüfe immer, ob die Terme wirklich die Bedingungen der binomischen Formel erfüllen.