Thema: Quadratische Gleichungen der Form \(x^2 + px = 0\)
Lösung
Aufgabe
\(x^2 + 5x = 0\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne die Endlösung auszuschreiben)
1) Gemeinsamen Faktor ausklammern
Beide Terme enthalten ein \(x\). Deshalb kann man \(x\) ausklammern:
\[
x^2 + 5x = x\cdot x + 5\cdot x = x(x+5)
\]
Damit wird die Gleichung:
\[
x(x+5)=0
\]
2) Satz vom Nullprodukt anwenden
Wenn ein Produkt \(A\cdot B = 0\) ist, dann muss mindestens einer der Faktoren \(0\) sein:
- \(x = 0\)
- oder \(x+5 = 0\)
3) Die zweite Gleichung lösen
Löse nun:
\[
x+5=0
\]
Ziehe dazu auf beiden Seiten \(5\) ab:
\[
x = -5
\]
4) Lösungsmenge formulieren
Du hast damit zwei Werte gefunden, die die Gleichung erfüllen. Schreibe sie als Lösungsmenge \(L\) auf
(in geschweiften Klammern, durch Semikolon getrennt).
Hinweis: Die beiden Lösungen sind genau die Werte, die in der Aufgabenangabe als korrekt angegeben sind.
(Ich schreibe sie hier absichtlich nicht noch einmal als fertige Lösungsmenge hin.)
Tipps
-
Bei Gleichungen der Form \(x^2 + px = 0\) ist Ausklammern fast immer der schnellste Weg:
\[
x^2 + px = x(x+p)
\] - Danach immer sofort an das Nullprodukt denken: Produkt gleich null → mindestens ein Faktor gleich null.
- Eine kurze Probe ist möglich: Setze jeden gefundenen Wert in \(x^2+5x\) ein und prüfe, ob \(0\) herauskommt.