Aufgabe
Lösung
Gegeben ist die quadratische Gleichung:
\(x^2 + 7x = 0\)
Schritt-für-Schritt-Lösung (ohne Endergebnis auszuschreiben)
1) Gemeinsamen Faktor ausklammern
Beide Terme \(x^2\) und \(7x\) enthalten den Faktor \(x\).
Deshalb klammern wir \(x\) aus:
\[
x^2 + 7x = x\cdot x + 7x = x(x+7)
\]
Damit wird die Gleichung zu:
\[
x(x+7)=0
\]
2) Nullproduktregel anwenden
Wenn ein Produkt gleich Null ist, dann muss mindestens ein Faktor Null sein:
\[
x(x+7)=0 \quad \Rightarrow \quad x=0 \;\; \text{oder} \;\; x+7=0
\]
3) Zweite Gleichung lösen
Nun löst du noch:
\[
x+7=0
\]
Ziehe dazu auf beiden Seiten \(7\) ab:
\[
x = -7
\]
4) Lösungsmenge aufschreiben (ohne sie hier als fertige Zeile hinzuschreiben)
Du hast damit zwei Lösungen gefunden: eine aus \(x=0\) und eine aus \(x=-7\).
Diese beiden Werte fasst man in der Lösungsmenge zusammen.
Tipps
-
Bei Gleichungen der Form \(x^2 + px = 0\) ist Ausklammern fast immer der schnellste Weg:
\(x(x+p)=0\). - Danach sofort an die Nullproduktregel denken: „Produkt = 0“ bedeutet „mindestens ein Faktor = 0“.
- Eine kurze Probe geht leicht im Kopf: Setze die gefundenen Werte in \(x^2+7x\) ein und prüfe, ob \(0\) herauskommt.