Lösung der quadratischen Gleichung
Lösung
Wir haben die quadratische Gleichung:
\(x^2 – 180 = 0\)
Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir \(x^2\) isolieren. Das bedeutet, dass wir die Gleichung umformen, um \(x^2\) auf einer Seite zu haben:
\(x^2 = 180\)
Der nächste Schritt ist, die Quadratwurzel auf beiden Seiten der Gleichung zu ziehen, um \(x\) zu finden. Dabei sollten wir nicht vergessen, dass sowohl die positive als auch die negative Wurzel berücksichtigt werden muss:
\(x = \pm \sqrt{180}\)
Um \(\sqrt{180}\) zu vereinfachen, können wir die Primfaktorzerlegung von 180 durchführen:
- 180 ist durch 2 teilbar: \(180 \div 2 = 90\)
- 90 ist durch 2 teilbar: \(90 \div 2 = 45\)
- 45 ist durch 3 teilbar: \(45 \div 3 = 15\)
- 15 ist durch 3 teilbar: \(15 \div 3 = 5\)
- 5 ist eine Primzahl.
Also ist die Primfaktorzerlegung von 180: \(2^2 \times 3^2 \times 5\).
Nun können wir die Quadratwurzel berechnen:
\(\sqrt{180} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 5} = 2 \times 3 \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\)
Somit ist die Lösung der Gleichung:
\(x = \pm 6\sqrt{5}\)
Die Lösung in der Lösungsmenge ist daher: \(L = \{6\sqrt{5}; -6\sqrt{5}\}\)
Ein Tipp: Wenn du mit Wurzeln arbeitest, versuche immer, die Zahl unter der Wurzel in ihre Primfaktoren zu zerlegen, um die Berechnung zu vereinfachen.