Aufgabe: Darstellung in der Form (a ± b)²
Lösung
Gegeben ist der Term:
\(x^2 – 16x + 64\)
1) Passende binomische Formel auswählen
Die binomischen Formeln lauten:
- \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- \((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)
In unserem Term steht in der Mitte \(-16x\), also ein Minus.
Daher passt die zweite Formel:
\((a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\).
2) a und b bestimmen
Vergleiche nun den gegebenen Term
\(x^2 – 16x + 64\)
mit
\(a^2 – 2ab + b^2\).
Schritt A: a² erkennen
Vorne steht \(x^2\). Das entspricht \(a^2\).
Also wählst du:
\(a = x\).
Schritt B: b² erkennen
Hinten steht \(64\). Das entspricht \(b^2\).
Überlege: Welche Zahl hat als Quadrat \(64\)?
Da \(8^2 = 64\), gilt:
\(b = 8\).
Schritt C: Mittelterm prüfen
Jetzt kontrollierst du, ob der Mittelterm wirklich passt:
\(-2ab = -2 \cdot x \cdot 8 = -16x\)
Das stimmt genau mit dem Mittelterm \(-16x\) überein. Damit ist die Zuordnung korrekt.
3) In die Klammerform einsetzen
Da wir die Form \((a-b)^2\) verwenden und \(a=x\), \(b=8\) ist, erhältst du:
\((x – 8)^2\)
Tipps zum schnelleren Erkennen
-
Prüfe zuerst, ob der Term die Form Quadrat – Mittelterm – Quadrat hat:
\(x^2\) … \(+64\) sind klare Hinweise auf ein Binom. - Das letzte Glied ist oft ein Quadrat (hier \(64 = 8^2\)). Daraus bekommst du schnell \(b\).
- Der Mittelterm muss dann genau \(\pm 2 \cdot x \cdot b\) ergeben. Das ist die beste Kontrolle.
Hinweis: Die korrekte Ziel-Form ist in der Aufgabenstellung bereits angegeben.
Versuche, die obigen Schritte selbst noch einmal nachzuvollziehen, ohne direkt nur abzuschreiben.