Thema: Faktorregel + Potenzregel
Lösung
Gegeben
\( y = \frac{1}{x^2} \)
Ziel
Bestimme \(y’\) mit Faktorregel und Potenzregel.
Schritt 1: Funktion in Potenzschreibweise umformen
Brüche mit \(x\) im Nenner lassen sich als negative Potenzen schreiben:
\[
\frac{1}{x^2} = x^{-2}
\]
Also gilt:
\[
y = x^{-2}
\]
Schritt 2: Potenzregel anwenden
Die Potenzregel lautet:
\[
\frac{d}{dx}\left(x^n\right) = n \cdot x^{n-1}
\]
Hier ist \(n = -2\). Setze das ein:
\[
y‘ = -2 \cdot x^{-2-1}
\]
Schritt 3: Exponenten vereinfachen
Im Exponenten steht:
\[
-2 – 1 = -3
\]
Damit:
\[
y‘ = -2 \cdot x^{-3}
\]
Schritt 4: Zurück in Bruchschreibweise (optional)
Eine negative Potenz bedeutet wieder „im Nenner“:
\[
x^{-3} = \frac{1}{x^3}
\]
Also kann man auch schreiben:
\[
y‘ = -2 \cdot \frac{1}{x^3}
\]
Tipps
- Schreibe Funktionen wie \(\frac{1}{x^2}\) fast immer zuerst als \(x^{-2}\). Dann ist die Potenzregel direkt anwendbar.
- Achte beim Ableiten besonders auf das „minus“ im Exponenten: Es bleibt erhalten und beeinflusst den neuen Exponenten \(n-1\).
- Wenn du am Ende wieder einen Bruch möchtest: \(x^{-k} = \frac{1}{x^k}\).
Kontrolle: Vergleiche deine umgeformte Ableitung am Ende mit der angegebenen Lösung, aber versuche zuerst, alle Schritte selbst sauber nachzuvollziehen.