Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel)
Lösung
Gegeben: \(y = e^x \cdot x^{17}\)
1) Erkennen der Struktur
Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren:
- \(f(x) = e^x\)
- \(g(x) = x^{17}\)
Daher benutzt man die Produktregel:
\[
(f\cdot g)‘ = f’\cdot g + f\cdot g‘
\]
2) Einzelne Ableitungen bilden
Zuerst leiten wir beide Teile getrennt ab:
-
\(\displaystyle f(x)=e^x \Rightarrow f'(x)=e^x\)
(Merksatz: Die Ableitung von \(e^x\) ist wieder \(e^x\).) -
\(\displaystyle g(x)=x^{17} \Rightarrow g'(x)=17x^{16}\)
(Potenzregel: \((x^n)‘ = n x^{n-1}\).)
3) Produktregel einsetzen
Jetzt setzen wir alles in die Produktregel ein:
\[
y‘ = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)
\]
Also:
\[
y‘ = e^x \cdot x^{17} + e^x \cdot 17x^{16}
\]
4) (Optional) Gemeinsam ausklammern
Oft kann man noch vereinfachen, indem man gemeinsame Faktoren ausklammert.
Beide Summanden enthalten \(e^x\) und \(x^{16}\):
\[
y‘ = e^x x^{16}\bigl(x + 17\bigr)
\]
Tipps
- Wenn du ein „\(\cdot\)“ zwischen zwei Funktionen siehst: zuerst an die Produktregel denken.
- \(e^x\) bleibt beim Ableiten immer \(e^x\) – das spart Zeit.
- Nach dem Ableiten lohnt sich oft das Ausklammern, um die Form zu vereinfachen.
Hinweis: Du hast bereits die richtige Struktur der Ableitung notiert (Produktregel korrekt angewendet).
Den letzten Schritt (Ausklammern) kannst du je nach Aufgabenstellung optional machen.