E-Funktion Ableitung: \(y = e^x \cdot x^6\)
Lösung
Hier hast du eine Produktfunktion, also ein Produkt aus zwei Funktionen:
- \(f(x) = e^x\)
- \(g(x) = x^6\)
1) Passende Regel: Produktregel
Für \(y = f(x)\cdot g(x)\) gilt:
\[
y‘ = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)
\]
2) Einzelne Ableitungen bestimmen
Ableitung von \(f(x)=e^x\):
Die e-Funktion ist besonders: Sie bleibt beim Ableiten gleich.
\[
f'(x) = (e^x)‘ = e^x
\]
Ableitung von \(g(x)=x^6\):
Mit der Potenzregel \((x^n)‘ = n\cdot x^{n-1}\):
\[
g'(x) = (x^6)‘ = 6x^5
\]
3) In die Produktregel einsetzen
Jetzt setzt du alles in
\(\;y‘ = f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x)\;\) ein:
\[
y‘ = (e^x)\cdot (x^6) + (e^x)\cdot (6x^5)
\]
4) (Optional) Vereinfachen durch Ausklammern
Beide Summanden enthalten den Faktor \(e^x\). Den kann man ausklammern:
\[
y‘ = e^x\bigl(x^6 + 6x^5\bigr)
\]
Und wenn du noch weiter ausklammern willst, steckt in der Klammer auch \(x^5\):
\[
y‘ = e^x \cdot x^5 (x + 6)
\]
Tipps
-
Erkenne zuerst immer die Struktur: Produkt, Quotient, Kette etc.
Hier ist es klar ein Produkt. -
Merksatz: Bei der Produktregel wird einmal die erste Funktion abgeleitet und die zweite bleibt,
plus erste bleibt und zweite wird abgeleitet. - Bei Produkten mit \(e^x\) lohnt sich oft das Ausklammern von \(e^x\), um die Form übersichtlicher zu machen.
Hinweis: Dein angegebenes Ergebnis folgt genau der Produktregel (nur die Reihenfolge der Faktoren ist vertauscht, was egal ist).