Thema: E-Funktion ableiten
Lösung
Aufgabe: \(y = e^{x+8}\)
Gegebenes Ergebnis (zur Kontrolle): \(y‘ = e^{x+8}\cdot 1\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Äußere und innere Funktion erkennen (Kettenregel)
Die Funktion hat die Form
\[
y = e^{u(x)}
\]
wobei die innere Funktion
\[
u(x) = x+8
\]
ist.
2) Ableitungsregel für die äußere Funktion
Für die Exponentialfunktion gilt:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} \cdot u'(x)
\]
Das ist genau die Kettenregel.
3) Innere Funktion ableiten
Jetzt leiten wir \(u(x)=x+8\) ab:
\[
u'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(8)
\]
Dabei gilt:
- \(\frac{d}{dx}(x)=1\)
- \(\frac{d}{dx}(8)=0\) (Konstante)
Also:
\[
u'(x)=1+0
\]
4) Kettenregel einsetzen
Setze \(u(x)=x+8\) und \(u'(x)=1+0\) in die Kettenregel ein:
\[
y‘ = e^{x+8}\cdot (1+0)
\]
Tipp
Bei \(e^{(\text{linear})}\), also z.B. \(e^{ax+b}\), ist die Ableitung immer
„dieselbe Exponentialfunktion“ mal der Ableitung des Exponenten.
Hier ist der Exponent \(x+8\) besonders einfach, weil seine Ableitung nur aus einer Konstante besteht.
Hinweis: Den letzten Vereinfachungsschritt (z.B. das Ausmultiplizieren bzw. das Weglassen von \(\cdot 1\)) kannst du selbst durchführen.