Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel)
Lösung
Gegeben:
\( y = e^x \cdot x^{11} \)
1) Welche Regel braucht man?
Hier wird ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet:
\(u(x)=e^x\) und \(v(x)=x^{11}\).
Dafür nutzt man die Produktregel:
\( (u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘ \)
2) Einzelne Ableitungen bestimmen
Erster Faktor: \(u(x)=e^x\)
Die Ableitung von \(e^x\) ist wieder \(e^x\), also:
\( u'(x)=e^x \)
Zweiter Faktor: \(v(x)=x^{11}\)
Mit der Potenzregel \( (x^n)‘ = n x^{n-1} \) folgt:
\( v'(x)=11x^{10} \)
3) Produktregel einsetzen (Schritt für Schritt)
\( y‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘ \)
\( y‘ = (e^x)\cdot (x^{11}) + (e^x)\cdot (11x^{10}) \)
4) Typischer Vereinfachungstipp
In beiden Summanden kommt der Faktor \(e^x\) vor (und sogar auch \(x^{10}\)).
Man kann daher ausklammern, um das Ergebnis übersichtlicher zu machen:
- Erst \(e^x\) ausklammern
- oder sogar \(e^x x^{10}\) ausklammern
Führe das Ausklammern als Übung selbst zu Ende und schreibe die Ableitung in einer möglichst einfachen Form auf.
Kontrollhinweis: Deine angegebene Ableitung verwendet genau die Produktregel und die richtigen Grundableitungen.
Prüfe noch, ob du beide Terme eventuell sinnvoll zusammenfassen/ausklammern kannst.