Thema: E-Funktion ableiten (Kettenregel)
Lösung
Gegeben: \(y = e^{5x-1}\)
Schritt 1: Struktur erkennen
Die Funktion hat die Form \(y = e^{u(x)}\) mit einer „inneren Funktion“ \(u(x)\).
Hier ist:
\[
u(x) = 5x – 1
\]
Schritt 2: Passende Regel auswählen
Für \(y = e^{u(x)}\) gilt die Kettenregel:
\[
\frac{d}{dx}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} \cdot u'(x)
\]
Schritt 3: Innere Ableitung berechnen
Wir leiten \(u(x) = 5x – 1\) ab:
- \(\frac{d}{dx}(5x) = 5\)
- \(\frac{d}{dx}(-1) = 0\) (Konstante fällt weg)
Also:
\[
u'(x) = 5
\]
Schritt 4: Kettenregel einsetzen
Jetzt setzen wir alles in die Kettenregel ein:
\[
y‘ = e^{u(x)} \cdot u'(x) = e^{5x-1} \cdot 5
\]
Tipps zum leichteren Lösen
-
Schreibe bei Exponentialfunktionen fast immer zuerst: „Setze \(u(x)\) = Exponent“.
Das verhindert typische Fehler. -
Merksatz: „Außen bleibt gleich, innen ableiten“ bei \(e^{u(x)}\):
\(e^{u(x)}\) bleibt stehen, dann mal \(u'(x)\). - Kontrollfrage: Ist der Exponent mehr als nur \(x\)? Wenn ja, brauchst du die Kettenregel.
(Du kannst das Ergebnis auch als \(5e^{5x-1}\) schreiben – das ist äquivalent.)