$$ y = e^x \times x^5 $$

E-Funktion Ableitung

Lösung

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Gegeben ist die Funktion

y = e^x · x⁵

1) Welche Regel braucht man?

Hier wird ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet:

• u(x) = e^x
• v(x) = x⁵

Dafür nutzt man die Produktregel:

(u · v)‘ = u‘ · v + u · v‘

2) Einzelableitungen bestimmen

a) Ableitung von u(x) = e^x

u'(x) = e^x

b) Ableitung von v(x) = x⁵

v'(x) = 5x⁴

(Hier wurde die Potenzregel benutzt: (xⁿ)‘ = n·xⁿ⁻¹.)

3) Produktregel einsetzen

Setze nun alles in (u · v)‘ = u‘ · v + u · v‘ ein:

y‘ = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x)

y‘ = e^x · x⁵ + e^x · 5x⁴

4) Tipp zum Vereinfachen

In beiden Summanden steckt der Faktor e^x · x⁴.
Man kann ihn ausklammern, um die Ableitung übersichtlicher zu schreiben:

y‘ = e^x · x⁴ · ( … )

Überlege dann, was in der Klammer stehen muss, damit wieder
e^x · x⁵ und e^x · 5x⁴ entstehen.

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Hinweis: Deine angegebene Lösung geht genau in diese Richtung. Achte nur darauf,
die Faktoren sauber zu ordnen (z.B. 5x⁴·e^x ist dasselbe wie e^x·5x⁴).