Aufgabe: Faktor finden (Stufe 3)
Lösung
Gegeben:
\(48m^3n^2k – 12mn^4 + 24mn^3k\)
Vorgegebener gemeinsamer Faktor: \(12mn^2\)
Schritt 1: Prüfen, ob \(12mn^2\) in jedem Term steckt
- \(48m^3n^2k\) enthält \(12\), enthält \(m\) (sogar \(m^3\)) und enthält \(n^2\) → passt.
- \(-12mn^4\) enthält \(12\), enthält \(m\) und enthält \(n^2\) (sogar \(n^4\)) → passt.
- \(24mn^3k\) enthält \(12\) (denn \(24 = 12\cdot 2\)), enthält \(m\) und enthält \(n^2\) (denn \(n^3 = n^2\cdot n\)) → passt.
Schritt 2: Jeden Term durch \(12mn^2\) teilen (das ist der Klammerinhalt)
Wir schreiben:
\(48m^3n^2k – 12mn^4 + 24mn^3k = 12mn^2(\;\dots\;)\)
Term 1: \(48m^3n^2k : 12mn^2\)
- Zahlen: \(48:12 = 4\)
- \(m^3 : m = m^{3-1} = m^2\)
- \(n^2 : n^2 = n^{2-2} = 1\) (fällt also weg)
- \(k\) bleibt stehen
Ergebnis für den 1. Klammerterm: \(4m^2k\)
Term 2: \(-12mn^4 : 12mn^2\)
- Zahlen: \(-12:12 = -1\)
- \(m:m = 1\) (fällt weg)
- \(n^4:n^2 = n^{4-2} = n^2\)
Ergebnis für den 2. Klammerterm: \(-n^2\)
Term 3: \(24mn^3k : 12mn^2\)
- Zahlen: \(24:12 = 2\)
- \(m:m = 1\) (fällt weg)
- \(n^3:n^2 = n^{3-2} = n\)
- \(k\) bleibt stehen
Ergebnis für den 3. Klammerterm: \(2nk\)
Schritt 3: Zusammensetzen
Damit erhältst du:
\(48m^3n^2k – 12mn^4 + 24mn^3k = 12mn^2(\;4m^2k – n^2 + 2nk\;)\)
Kontroll-Tipp (ohne alles auszumultiplizieren)
- Multipliziere gedanklich \(12mn^2\) nur mit dem ersten Klammerterm \(4m^2k\): Du musst wieder \(48m^3n^2k\) bekommen.
- Achte besonders auf das Minuszeichen beim mittleren Term: Aus \(-n^2\) muss wieder \(-12mn^4\) werden.
Hinweis: Ich habe das Ergebnis absichtlich nicht als „Ende“ markiert, damit du es selbst noch einmal prüfen kannst.