Thema: Zahlen ordnen
Lösung
Aufgabe
Ordne die Zahlen der Größe nach:
\(\frac{9}{10};\ 0{,}91;\ -\frac{1}{8};\ -0{,}2;\ \frac{3}{4};\ 1{,}08;\ \frac{11}{9}\)
Vorgehensweise (ohne Taschenrechner)
1) Positive und negative Zahlen trennen
Negative Zahlen sind immer kleiner als positive. Daher ordnen wir zuerst getrennt:
- Positiv: \(\frac{9}{10},\ 0{,}91,\ \frac{3}{4},\ 1{,}08,\ \frac{11}{9}\)
- Negativ: \(-\frac{1}{8},\ -0{,}2\)
2) Positive Zahlen vergleichen
a) \(\frac{11}{9}\) mit \(1{,}08\) vergleichen
Schreibe \(\frac{11}{9}\) als gemischte Zahl:
\[
\frac{11}{9} = 1 + \frac{2}{9}
\]
Jetzt vergleichen wir \(\frac{2}{9}\) mit \(0{,}08\), denn:
\[
1{,}08 = 1 + 0{,}08
\]
Ohne Dezimalzahl für \(\frac{2}{9}\) kann man abschätzen:
\[
\frac{1}{9} \approx 0{,}11 \quad\Rightarrow\quad \frac{2}{9} \approx 0{,}22
\]
Also ist \(\frac{2}{9}\) deutlich größer als \(0{,}08\). Damit gilt:
\[
\frac{11}{9} > 1{,}08
\]
b) \(0{,}91\) mit \(\frac{9}{10}\) vergleichen
\(\frac{9}{10}\) lässt sich leicht als Dezimalzahl schreiben:
\[
\frac{9}{10} = 0{,}9
\]
Dann ist klar:
\[
0{,}91 > 0{,}9 = \frac{9}{10}
\]
c) \(\frac{3}{4}\) mit \(\frac{9}{10}\) (oder \(0{,}9\)) vergleichen
Hier ist ein Bruchvergleich ohne Umwandeln praktisch: Kreuzmultiplikation.
Vergleiche \(\frac{3}{4}\) und \(\frac{9}{10}\) über:
\[
3\cdot 10 \quad\text{und}\quad 9\cdot 4
\]
\[
3\cdot 10 = 30,\qquad 9\cdot 4 = 36
\]
Da \(30 < 36\), gilt:
\[
\frac{3}{4} < \frac{9}{10}
\]
Damit haben wir bei den positiven Zahlen (von groß nach klein) die Reihenfolge:
\[
\frac{11}{9} \;>\; 1{,}08 \;>\; 0{,}91 \;>\; \frac{9}{10} \;>\; \frac{3}{4}
\]
3) Negative Zahlen vergleichen
Bei negativen Zahlen gilt: Die Zahl mit dem kleineren Betrag (also näher an 0) ist größer.
a) \(-\frac{1}{8}\) als Dezimalzahl denken
\[
\frac{1}{8} = 0{,}125 \quad\Rightarrow\quad -\frac{1}{8} = -0{,}125
\]
b) \(-0{,}125\) mit \(-0{,}2\) vergleichen
\(-0{,}125\) liegt näher an 0 als \(-0{,}2\). Daher:
\[
-\frac{1}{8} > -0{,}2
\]
4) Alles zusammenfügen
Zuerst kommen alle positiven Zahlen (geordnet), danach die negativen (geordnet):
Geordnete Kette (von groß nach klein) aufstellen:
\[
\frac{11}{9} \;>\; 1{,}08 \;>\; 0{,}91 \;>\; \frac{9}{10} \;>\; \frac{3}{4} \;>\; -\frac{1}{8} \;>\; -0{,}2
\]
Tipps zum leichteren Ordnen
- Trenne immer zuerst in positiv und negativ.
- Brüche mit Nenner \(10, 100, 1000\) kann man schnell in Dezimalzahlen umwandeln (z.B. \(\frac{9}{10}=0{,}9\)).
- Zum Vergleichen von Brüchen ist Kreuzmultiplikation oft am schnellsten.
- Bei negativen Zahlen: näher an 0 bedeutet größer.