Thema: Zahlen ordnen
Lösung
Aufgabe: Ordne die Zahlen der Größe nach (aufsteigend):
\(-1{,}2;\ \frac{5}{6};\ 0{,}75;\ -\frac{3}{4};\ 1\frac{1}{4};\ 0{,}7;\ \frac{4}{5}\)
1) Überblick: Welche Zahlen sind negativ, welche positiv?
- Negativ: \(-1{,}2\) und \(-\frac{3}{4}\)
- Positiv: \(\frac{5}{6},\ 0{,}75,\ 1\frac{1}{4},\ 0{,}7,\ \frac{4}{5}\)
Tipp: Beim Ordnen ist es oft am einfachsten, zuerst alle negativen Zahlen (die kommen links) und dann die positiven Zahlen zu betrachten.
2) Die negativen Zahlen untereinander vergleichen
Bei negativen Zahlen gilt: Je „mehr“ negativ (also je kleiner), desto weiter links.
Vergleiche \(-1{,}2\) und \(-\frac{3}{4}\).
Wandle \(-\frac{3}{4}\) in eine Dezimalzahl um:
\[
\frac{3}{4} = 0{,}75 \quad \Rightarrow \quad -\frac{3}{4} = -0{,}75
\]
Jetzt vergleichen wir \(-1{,}2\) und \(-0{,}75\):
\(-1{,}2\) ist kleiner, weil es weiter links auf der Zahlengeraden liegt (stärker negativ).
Also:
\[
-1{,}2 < -\frac{3}{4}
\]
3) Die positiven Zahlen vergleichen
Hier hilft es, alle Zahlen als Dezimalzahlen (oder als Brüche mit gleichem Nenner) zu schreiben.
Wir machen es gemischt, aber ohne Taschenrechner:
3a) Dezimalzahlen sind schon klar
- \(0{,}7\)
- \(0{,}75\)
3b) Brüche in Dezimalzahlen umwandeln (durch bekannte Brüche)
\(\frac{4}{5}\): Da \(\frac{1}{5}=0{,}2\), gilt
\[
\frac{4}{5} = 4\cdot 0{,}2 = 0{,}8
\]
\(\frac{5}{6}\): Hier kann man sich merken, dass \(\frac{1}{6}=0{,}1666\ldots\). Dann
\[
\frac{5}{6} = 5\cdot 0{,}1666\ldots = 0{,}8333\ldots
\]
3c) Gemischte Zahl umwandeln
\[
1\frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}
\]
und \(\frac{1}{4}=0{,}25\), also
\[
1\frac{1}{4} = 1{,}25
\]
4) Positive Zahlen nun der Größe nach sortieren
Wir haben (als Orientierung):
- \(0{,}7\)
- \(0{,}75\)
- \(\frac{4}{5}=0{,}8\)
- \(\frac{5}{6}=0{,}8333\ldots\)
- \(1\frac{1}{4}=1{,}25\)
Jetzt vergleichen wir Schritt für Schritt:
- \(0{,}7 < 0{,}75\), weil \(70\) Hundertstel kleiner als \(75\) Hundertstel sind.
- \(0{,}75 < 0{,}8\), denn \(0{,}75\) ist kleiner als \(0{,}80\).
- \(0{,}8 < 0{,}8333\ldots\), also \(\frac{4}{5} < \frac{5}{6}\).
- Alle diese Zahlen sind kleiner als \(1{,}25\), also steht \(1\frac{1}{4}\) am Ende.
5) Alles zusammenfügen (negativ zuerst, dann positiv)
Setze nun die Reihenfolge aus Schritt 2 und Schritt 4 zusammen:
\[
-1{,}2 < -\frac{3}{4} < 0{,}7 < 0{,}75 < \frac{4}{5} < \frac{5}{6} < 1\frac{1}{4}
\]
Tipps zum leichteren Ordnen
- Trenne zuerst negative und positive Zahlen.
- Wandle Brüche in bekannte Dezimalzahlen um (z.B. Viertel, Fünftel, Zehntel).
- Bei negativen Zahlen: Die Zahl mit dem größeren Betrag ist die kleinere (z.B. \(-1{,}2\) ist kleiner als \(-0{,}75\)).