Aufgabe: Differenz von Zahlen Lösung Gegeben: Differenz von 7,6 und -7,6. 1) Verstehen, was „Differenz von A und B“ bedeutet Die Formulierung „Differenz von A und B“ heißt: A − B Also ist hier: 7,6 − (−7,6) 2) Minus vor einer negativen Zahl richtig behandeln Wichtiges Vorzeichen‑Merksatz: Minus minus wird plus, also: −(−x) = +x
$$ \text{Differenz von } 7{,}6 \text{ und } -7{,}6 $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das Integral \[ \int_{-2}^{1} (4x^3+2x)\,dx \] und als Stammfunktion (korrekt) ist angegeben: \[ F(x)=x^4+x^2. \] 1) Idee: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Hier ist \(f(x)=4x^3+2x\), \(a=-2\), \(b=1\). 2) (Kurzer Check) Warum ist \(F(x)=x^4+x^2\) eine Stammfunktion? Ableiten:
$$ \int_{-2}^{1} (4x^3+2x)\,dx $$ Weiterlesen »
Aufgabe: Bestimmtes Integral Lösung Gegeben ist das bestimmte Integral \(\displaystyle \int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx\) und eine Stammfunktion \(\displaystyle F(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2\). Schritt 1: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Für eine Stammfunktion \(F\) von \(f\) gilt: \[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a). \] Hier ist \(f(x)=2x^3-6x\), \(a=1\), \(b=3\). Schritt 2: Stammfunktion an der oberen Grenze auswerten Setze \(x=3\) in \(F(x)=\frac{1}{2}x^4-3x^2\) ein:
$$ \int_{1}^{3} (2x^3-6x)\,dx $$ Weiterlesen »
Thema: Brüche in Prozente umwandeln Lösung Aufgabe: Wandle den Bruch \(\frac{18}{75}\) in Prozent um. Schritt 1: Idee verstehen „Prozent“ bedeutet „von 100“. Also ist es praktisch, den Bruch so umzuschreiben, dass im Nenner (unten) 100 steht. Schritt 2: Bruch kürzen (macht es oft leichter) Wir kürzen \(\frac{18}{75}\), indem wir Zähler und Nenner durch eine gemeinsame
$$ \frac{18}{75} $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion ableiten (Kettenregel) Lösung Gegeben: \(y = e^{5x-1}\) Schritt 1: Struktur erkennen Die Funktion hat die Form \(y = e^{u(x)}\) mit einer „inneren Funktion“ \(u(x)\). Hier ist: \[ u(x) = 5x – 1 \] Schritt 2: Passende Regel auswählen Für \(y = e^{u(x)}\) gilt die Kettenregel: \[ \frac{d}{dx}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} \cdot u'(x) \] Schritt
$$ y = e^{5x-1} $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion ableiten Lösung Aufgabe: \(y = e^{x+8}\) Gegebenes Ergebnis (zur Kontrolle): \(y‘ = e^{x+8}\cdot 1\) Schritt-für-Schritt-Lösung 1) Äußere und innere Funktion erkennen (Kettenregel) Die Funktion hat die Form \[ y = e^{u(x)} \] wobei die innere Funktion \[ u(x) = x+8 \] ist. 2) Ableitungsregel für die äußere Funktion Für die Exponentialfunktion gilt: \[
$$ y = e^{x+8} $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion ableiten Lösung Gegeben: \(y = e^{3x}\) Gesucht: \(y’\) Schritt-für-Schritt-Lösung Hier liegt eine verkettete Funktion vor, weil im Exponenten nicht nur \(x\) steht, sondern \(3x\). Deshalb benutzt man die Kettenregel. 1) Äußere und innere Funktion erkennen Schreibe \(y\) als: \[ y = e^{u} \quad \text{mit} \quad u = 3x \] Äußere Funktion: \(f(u) =
$$ y = e^{3x} $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel) Lösung Gegeben: \(y = e^x \cdot x^{17}\) 1) Erkennen der Struktur Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren: \(f(x) = e^x\) \(g(x) = x^{17}\) Daher benutzt man die Produktregel: \[ (f\cdot g)‘ = f’\cdot g + f\cdot g‘ \] 2) Einzelne Ableitungen bilden Zuerst leiten wir beide Teile getrennt ab:
$$ y = e^x \times x^{17} $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel) Lösung Gegeben: \( y = e^x \cdot x^{14} \) 1) Erkennen der Struktur Die Funktion ist ein Produkt aus zwei Faktoren: \(f(x) = e^x\) \(g(x) = x^{14}\) Wenn zwei Funktionen multipliziert werden, benutzt man die Produktregel. 2) Produktregel aufschreiben \[ (f \cdot g)‘ = f‘ \cdot g + f \cdot g‘
$$ y = e^x \times x^{14} $$ Weiterlesen »
Thema: E-Funktion Ableitung (Produktregel) Lösung Gegeben: \( y = e^x \cdot x^{11} \) 1) Welche Regel braucht man? Hier wird ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet: \(u(x)=e^x\) und \(v(x)=x^{11}\). Dafür nutzt man die Produktregel: \( (u\cdot v)‘ = u’\cdot v + u\cdot v‘ \) 2) Einzelne Ableitungen bestimmen Erster Faktor: \(u(x)=e^x\) Die Ableitung von \(e^x\)
$$ y = e^x \times x^{11} $$ Weiterlesen »
