Thema: Exponent berechnen mit Logarithmus
Lösung
Aufgabe
\(9^x = 81\)
Schritt-für-Schritt-Lösung
1) Idee: Logarithmus als „Umkehrung“ der Potenz
Ein Logarithmus beantwortet genau die Frage:
„Zu welcher Potenz muss ich die Basis erheben, um den gegebenen Wert zu erhalten?“
Allgemein gilt:
\[
a^x = b \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_a(b)
\]
2) Auf die Aufgabe anwenden
Hier ist \(a=9\) und \(b=81\). Also:
\[
9^x = 81 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \log_9(81)
\]
Damit hast du die Logarithmus-Schreibweise schon korrekt aufgestellt (genau wie in der angegebenen richtigen Form).
3) Ohne Rechner weiter vereinfachen (Tipp: gleiche Basis finden)
Um \(x\) als „normale Zahl“ zu erkennen, ist es oft am einfachsten, beide Zahlen als Potenzen derselben Basis zu schreiben.
Man kann zum Beispiel:
- \(9\) als Potenz von \(3\) schreiben: \(\;9 = 3^2\)
- \(81\) als Potenz von \(3\) schreiben: \(\;81 = 3^4\)
4) Einsetzen und Potenzgesetze benutzen
Setze das in die Gleichung ein:
\[
9^x = 81 \quad \Rightarrow \quad (3^2)^x = 3^4
\]
Jetzt nutzt du das Potenzgesetz \((a^m)^n = a^{m\cdot n}\):
\[
(3^2)^x = 3^{2x}
\]
Damit wird die Gleichung:
\[
3^{2x} = 3^4
\]
5) Exponenten vergleichen
Wenn die Basis gleich ist (hier jeweils \(3\)), müssen die Exponenten gleich sein:
\[
2x = 4
\]
Jetzt würdest du als letzten Schritt \(x\) durch Auflösen dieser linearen Gleichung bestimmen.
(Diesen letzten Zahlenwert schreibe ich hier bewusst nicht hin.)
Kontroll-Tipp
Wenn du deinen Wert für \(x\) gefunden hast, setze ihn gedanklich in \(9^x\) ein und prüfe,
ob wirklich \(81\) herauskommt. Oft erkennt man das schnell, weil \(81\) eine bekannte Potenz ist.