$$ \frac{\tan x}{\sin x} $$

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Thema: Trigonometrische Identitäten

Lösung

Aufgabe

Vereinfache den Term:

\[
\frac{\tan x}{\sin x}
\]

Wichtige Identität

Nutze die Grundbeziehung zwischen Tangens, Sinus und Kosinus:

\[
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Schritt-für-Schritt-Lösung

  1. Ersetze \(\tan x\) durch \(\frac{\sin x}{\cos x}\):

    \[
    \frac{\tan x}{\sin x}
    = \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}
    \]

  2. Durch einen Bruch teilen bedeutet: mit dem Kehrwert multiplizieren.
    Hier kannst du auch direkt kürzen, weil oben und unten ein \(\sin x\) vorkommt.

    \[
    \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin x}
    = \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\sin x}
    \]

  3. Kürze \(\sin x\) im Zähler mit \(\sin x\) im Nenner:

    \[
    \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \frac{1}{\sin x}
    = \frac{1}{\cos x}
    \]

    (Das Kürzen ist nur erlaubt, wenn \(\sin x \neq 0\).)

Tipps zum leichteren Lösen

  • Wenn in einem Term \(\tan x\) vorkommt, lohnt es sich fast immer, ihn als
    \(\frac{\sin x}{\cos x}\) zu schreiben. Dann kann man oft sofort kürzen.
  • Achte beim Kürzen darauf, dass du nur gemeinsame Faktoren kürzt (nicht Summen).
  • Denke an die Definitionsmenge: Hier darf \(\cos x\) nicht \(0\) sein (sonst wäre \(\tan x\) nicht definiert),
    und beim Kürzen zusätzlich \(\sin x \neq 0\).

Kontrolle (ohne das Ergebnis „einfach hinzuschreiben“)

Wenn du nach dem Kürzen nur noch ein Ausdruck mit \(\cos x\) im Nenner übrig hast,
passt das zu der vorgegebenen Ziel-Form.

Unbedingt lesen